Utilize o critério da razão para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}}{n^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}}{n^{4}}
usando o critério da razão. Esse critério nos diz que, se para a_n definirmos
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,
então, se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 ela diverge; e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{5^{n}}{n^{4}}.
Aplicamos o teste da razão, ou seja, analisamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\displaystyle \frac{5^{\,n+1}}{(n+1)^{4}}}{\displaystyle \frac{5^{\,n}}{n^{4}}}.

Passo 3

Simplificando a fração, obtemos
\frac{a_{n+1}}{a_n} =5 \,\frac{n^{4}}{(n+1)^{4}}.

Passo 4

Calculamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty} 5 \,\frac{n^{4}}{(n+1)^{4}} =5 \,\lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{n}{n+1}\Bigr)^{4} =5\cdot 1^{4} =5.
Como L=5>1, o critério da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}}{n^{4}} diverge pelo critério da razão.

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