Utilize o critério da razão para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+2)}{n(n+1)}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n+2}{n(n+1)}
e pede para usar o critério da razão. Nesse critério, consideramos o termo geral a_n e calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Definimos
a_n = (-1)^{n+1}\frac{n+2}{n(n+1)},
logo o termo em módulo é
|a_n| = \frac{n+2}{n(n+1)}.

Passo 3

Calculamos a razão dos módulos:
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{\frac{n+3}{(n+1)(n+2)}}{\frac{n+2}{n(n+1)}} = \frac{(n+3)\,n\,(n+1)}{(n+1)\,(n+2)^2} = \frac{n(n+3)}{(n+2)^2}.

Passo 4

Tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{n(n+3)}{(n+2)^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^2+3n}{n^2+4n+4} = 1.

Passo 5

Como L=1, o critério da razão é inconclusivo e não permite decidir convergência ou divergência.

Resposta

O critério da razão dá L=1, portanto é inconclusivo.

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