Utilize o critério da razão para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}2^{n}}{n!}
usando o critério da razão de d’Alembert. Esse teste avalia o limite do módulo da razão entre termos consecutivos e nos diz que, se
L = \lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| < 1,
a série converge absolutamente (e, portanto, converge).

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n = \frac{(-1)^n2^n}{n!}.
Queremos calcular
\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|.

Passo 3

Substituindo em \bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigr| obtemos
\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| = \left|\frac{(-1)^{n+1}2^{n+1}/(n+1)!}{(-1)^n2^n/n!}\right| = \frac{2}{n+1}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1} = 0.
Como 0<1, o critério da razão diz que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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