Utilize o critério da razão para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n)!}{n^{5}}

Passo 1

O enunciado pede testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{n^{5}}
pelo critério da razão. Para isso vamos definir
a_{n} = \frac{(2n)!}{n^{5}}
e calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}.

Passo 2

Escrevendo a razão entre termos consecutivos, temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{(2(n+1))!}{(n+1)^{5}}}{\frac{(2n)!}{n^{5}}} = \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{5}}\cdot\frac{n^{5}}{(2n)!}.

Passo 3

Como (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, substituímos para obter
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^{5}}\cdot\frac{n^{5}}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)\,n^{5}}{(n+1)^{5}}.

Passo 4

Note que
(2n+2)(2n+1) = 4n^{2} + 6n + 2
e
(n+1)^{5} = n^{5}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{5}.
Logo
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{4n^{2}+6n+2}{\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{5}}.

Passo 5

Ao fazer n\to\infty, temos \bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{5}\to1 e 4n^{2}+6n+2\to\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \infty.

Passo 6

Pelo critério da razão, se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1
então a série diverge. Como o limite é infinito, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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