Utilize o critério da razão para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n 3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n\,3^{n}}
e determinar se ela converge ou diverge usando o critério da razão.

Passo 2

Seja
a_{n} = \frac{n!}{n\,3^{n}}.
Aplicamos o critério da razão, ou seja, vamos calcular
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.
Temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle\frac{(n+1)!}{(n+1)\,3^{n+1}}}{\displaystyle\frac{n!}{n\,3^{n}}} = \frac{(n+1)!\,n\,3^{n}}{(n+1)\,3^{n+1}\,n!} = \frac{n\,\cancel{(n+1)!}/\cancel{n!}}{3\,\cancel{(n+1)}/\cancel{(n+1)}} = \frac{n}{3}.

Passo 3

Agora calculamos o limite
L = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{3} = +\infty.
Como L>1, o critério da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo critério da razão.

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