Utilize o critério da razão para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n}}{n!}
e pede para usar o critério da razão. Esse critério afirma que, para a_n não nulo, se
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
satisfaz L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{e^n}{n!}.
Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{e^{n+1}}{(n+1)!}}{\displaystyle\frac{e^n}{n!}} = \frac{e^{n+1}}{e^n}\,\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{e}{n+1}.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{e}{n+1} = 0.
Como L = 0 < 1, pelo critério da razão a série converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n}}{n!} converge.

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