Utilize o critério da razão para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{6^{n}}{(n+1)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{6^{n}}{(n+1)^{n}}
usando o critério da razão. Vamos chamar
a_n = \frac{6^{n}}{(n+1)^{n}}
e aplicar o teste da razão, que diz: se
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
existe e é menor que 1, então a série converge absolutamente; se for maior que 1, diverge; se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Calculemos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{6^{\,n+1}}{(n+2)^{\,n+1}}}{\dfrac{6^n}{(n+1)^n}} =6\;\frac{(n+1)^n}{(n+2)^{\,n+1}} =6\;\Bigl(\frac{n+1}{n+2}\Bigr)^{\!n}\,\frac{1}{n+2}.

Passo 3

Agora precisamos do limite
L = \lim_{n\to\infty} 6\;\Bigl(\frac{n+1}{n+2}\Bigr)^{\!n}\,\frac{1}{n+2}.
Observe que
\frac{n+1}{n+2} = 1 - \frac{1}{n+2} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{n+1}{n+2}\Bigr)^{\!n} = e^{-1},
mas também \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+2}=0. Portanto
L = 6\,e^{-1}\times 0 = 0.
Como L=0<1, o critério da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{6^{n}}{(n+1)^{n}} converge.

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