Utilize a definição de derivada para calcular f^{\prime}\left(x_{0}\right). Utilize os teoremas de derivadas para calcular f^{\prime}(x) se existir.
f(x)=x \cos x, \quad x_{0}=\pi

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular f^{\prime}\left(x_{0}\right) usando a definição de derivada no ponto x_{0} e (2) usar os teoremas de derivadas (regras) para calcular f^{\prime}(x) quando existir.
As informações dadas são: f(x)=x\cos x e x_{0}=\pi.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a definição de derivada num ponto. A derivada de f em x_{0} é o limite (quando existir)
f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.
Aqui h é o incremento em x. Se esse limite existir (e for finito), chamamos isso de derivada de f em x_{0}.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso f em x_{0}=\pi, escrevemos a diferença de incrementos:
\frac{f(\pi+h)-f(\pi)}{h}=\frac{(\pi+h)\cos(\pi+h)-\pi\cos\pi}{h}.
Agora usamos identidades trigonométricas: \cos(\pi+h)=-\cos h e \cos\pi=-1. Substituindo:
\frac{(\pi+h)(- \cos h)-\pi(-1)}{h}=\frac{-\pi\cos h - h\cos h +\pi}{h}.
Agrupando termos:
\frac{\pi(1-\cos h)-h\cos h}{h}=\pi\cdot\frac{1-\cos h}{h}-\cos h.

Passo 4

Agora precisamos calcular o limite quando h\to0 da expressão acima:
\lim_{h\to0}\left(\pi\cdot\frac{1-\cos h}{h}-\cos h\right).
Primeiro avaliamos \lim_{h\to0}\cos h=\cos 0=1. Falta \lim_{h\to0}\frac{1-\cos h}{h}. Use a identidade
1-\cos h = 2\sin^{2}\!\left(\frac{h}{2}\right).
Portanto
\frac{1-\cos h}{h}=\frac{2\sin^{2}\!\left(\frac{h}{2}\right)}{h}.
Faça a substituição u=\dfrac{h}{2}, então h=2u e
\frac{1-\cos h}{h}=\frac{2\sin^{2}u}{2u}=\frac{\sin^{2}u}{u}=\left(\frac{\sin u}{u}\right)\sin u.
Quando h\to0 temos u\to0, e sabemos o limite clássico \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1 e \lim_{u\to0}\sin u=0. Assim
\lim_{h\to0}\frac{1-\cos h}{h}=1\cdot 0 = 0.
Voltando à expressão original do passo 4,
\lim_{h\to0}\left(\pi\cdot\frac{1-\cos h}{h}-\cos h\right)=\pi\cdot 0 - 1 = -1.

Passo 5

Concluímos pela definição que
f^{\prime}(\pi)=-1.
Bom trabalho — isso já resolve a primeira parte pedida usando a definição de derivada.

Passo 6

Agora vamos usar os teoremas de derivadas (regras) para obter uma fórmula geral para f^{\prime}(x). Usamos a regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
(u v)^{\prime}=u^{\prime}v+u v^{\prime}.
No nosso caso tome u(x)=x e v(x)=\cos x. Temos u^{\prime}(x)=1 e v^{\prime}(x)=-\sin x (derivada básica do cosseno).

Passo 7

Aplicando a regra do produto:
f^{\prime}(x) = (x\cos x)^{\prime} = 1\cdot\cos x + x\cdot(-\sin x)=\cos x - x\sin x.
Essa expressão existe para todo x\in\mathbb{R}, porque x e \cos x são diferenciáveis em todos os reais, logo o produto é diferenciável em todos os reais.

Passo 8

Como verificação rápida, avaliando a fórmula em x=\pi obtemos
f^{\prime}(\pi)=\cos\pi - \pi\sin\pi = -1 - \pi\cdot 0 = -1,
coincidindo com o resultado obtido pela definição.

Resposta

f^{\prime}(\pi)=-1
f^{\prime}(x)=\cos x - x\sin x

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