Utilize a definição de derivada para calcular
. Utilize os teoremas de derivadas para calcular
se existir.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) calcular
usando a definição de derivada no ponto
e (2) usar os teoremas de derivadas (regras) para calcular
quando existir.
As informações dadas são: e
.
As informações dadas são:
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a definição de derivada num ponto. A derivada de
em
é o limite (quando existir)
Aqui
é o incremento em
. Se esse limite existir (e for finito), chamamos isso de derivada de
em
.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso
em
, escrevemos a diferença de incrementos:
Agora usamos identidades trigonométricas:
e
. Substituindo:
Agrupando termos:
Passo 4
Agora precisamos calcular o limite quando
da expressão acima:
Primeiro avaliamos
. Falta
. Use a identidade
Portanto
Faça a substituição
, então
e
Quando
temos
, e sabemos o limite clássico
e
. Assim
Voltando à expressão original do passo 4,
Passo 5
Concluímos pela definição que
Bom trabalho — isso já resolve a primeira parte pedida usando a definição de derivada.
Passo 6
Agora vamos usar os teoremas de derivadas (regras) para obter uma fórmula geral para
. Usamos a regra do produto: se
e
são diferenciáveis, então
No nosso caso tome
e
. Temos
e
(derivada básica do cosseno).
Passo 7
Aplicando a regra do produto:
Essa expressão existe para todo
, porque
e
são diferenciáveis em todos os reais, logo o produto é diferenciável em todos os reais.
Passo 8
Como verificação rápida, avaliando a fórmula em
obtemos
coincidindo com o resultado obtido pela definição.