Utilize a Definiçõ de derivada para calcular o limite indicado.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
Observação útil (apenas identificação dos números dados):
é igual a
.
Passo 2
Definição que vamos usar (explicada devagar): para uma função
e um ponto
, a derivada de
em
é definida por
quando esse limite existe. Aqui:
-
é o valor da função em um ponto ligeiramente deslocado por , -
é o valor da função no ponto base , - e a fração
é chamada de quociente diferencial ou quociente incremental. Intuitivamente, medida a taxa de variação média de quando nos deslocamos de para ; o limite quando dá a taxa de variação instantânea (a derivada).
Passo 3
Identificação na expressão: note que, como eu observei antes,
. Se definirmos a função
então
Assim a expressão do enunciado é exatamente o quociente
portanto o limite pedido é
segundo a definição da derivada.
Passo 4
Duas maneiras para chegar no valor de
: (A) calcular o limite diretamente simplificando algebricamente o quociente incremental; (B) usar uma regra de derivação conhecida. Vou mostrar primeiro (A) passo a passo, porque isso é o que a definição pede e é o jeito que você pode fazer na prova sem decorar regras.
Passo 5
Cálculo direto simplificando o quociente:
Multiplicando por
,
Subtraindo
,
Dividindo por
(aqui assumimos
, o que é legítimo pois o limite considera
tendendo a
mas não igual a
),
Agora tomamos o limite quando
:
Passo 6
(Método alternativo rápido — interessante para conferir e útil na prova se você já conhece as regras.) Usando regra do poder e fator constante: para
,
Avaliando em
,
Resultado coincide com o cálculo direto do passo anterior — bom sinal.
Passo 7
Interpretação final curta e encorajamento: o limite pedido é a derivada de
no ponto
. Fizemos a conta expandindo e cancelando
para ver explicitamente o comportamento quando
. Se der branco na prova, lembrar de expandir e cancelar é uma técnica segura.