Utilize a definição para provar que os limites existem:
\lim _{x \rightarrow-6}(10-9 x)=64

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição (epsilon‑delta), que
\lim_{x\to -6}(10-9x)=64.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=10-9x.
  • O ponto onde se toma o limite é x\to -6.
  • O valor proposto do limite é 64.

Passo 2

Recordando a definição que vamos usar (escrevendo claramente o que significa):
Dizer que \displaystyle\lim_{x\to -6}f(x)=64 significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-(-6)|<\delta (ou seja, 0<|x+6|<\delta), vale
|f(x)-64|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon é uma tolerância arbitrária para a distância entre f(x) e 64, e \delta é a tolerância correspondente para a distância entre x e -6. Nosso objetivo é, dado um \varepsilon>0 arbitrário, encontrar um \delta>0 que satisfaça a condição acima.

Passo 3

Calcular explicitamente a diferença f(x)-64 para esta função:
f(x)-64=(10-9x)-64=-9x-54.
Fatorando:
-9x-54=-9(x+6).

Passo 4

Tomando valor absoluto:
|f(x)-64|=|-9(x+6)|=9|x+6|.
A igualdade |-9(x+6)|=9|x+6| vem porque |-9|=9 e |ab|=|a||b|.

Passo 5

Para controlar |f(x)-64| em função de |x+6|, note que
|f(x)-64|=9|x+6|.
Queremos que isso seja menor que \varepsilon. Uma escolha natural e simples é fazer
9|x+6|<\varepsilon \quad\Longleftarrow\quad |x+6|<\frac{\varepsilon}{9}.
Portanto escolhemos
\delta=\frac{\varepsilon}{9}.
Observe que \delta>0 porque \varepsilon>0.

Passo 6

Verificação formal: seja um \varepsilon>0 qualquer e tome \delta=\dfrac{\varepsilon}{9}. Se 0<|x+6|<\delta, então
|f(x)-64|=9|x+6|<9\delta=9\cdot\frac{\varepsilon}{9}=\varepsilon.
Logo a condição da definição é satisfeita.

Passo 7

Como para todo \varepsilon>0 encontramos um \delta>0 (especificamente \delta=\varepsilon/9) que garante 0<|x+6|<\delta\Rightarrow|f(x)-64|<\varepsilon, concluímos, pela definição epsilon‑delta, que
\lim_{x\to -6}(10-9x)=64.

Resposta

64

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