Utilize a definição para provar que os limites existem:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição (epsilon‑delta), que
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde se toma o limite é
. - O valor proposto do limite é
.
Passo 2
Recordando a definição que vamos usar (escrevendo claramente o que significa):
Dizer que significa que para todo
existe
tal que, sempre que
(ou seja,
), vale
Dizer que
Aqui
é uma tolerância arbitrária para a distância entre
e
, e
é a tolerância correspondente para a distância entre
e
. Nosso objetivo é, dado um
arbitrário, encontrar um
que satisfaça a condição acima.
Passo 3
Calcular explicitamente a diferença
para esta função:
Fatorando:
Passo 4
Tomando valor absoluto:
A igualdade
vem porque
e
.
Passo 5
Para controlar
em função de
, note que
Queremos que isso seja menor que
. Uma escolha natural e simples é fazer
Portanto escolhemos
Observe que
porque
.
Passo 6
Verificação formal: seja um
qualquer e tome
. Se
, então
Logo a condição da definição é satisfeita.
Passo 7
Como para todo
encontramos um
(especificamente
) que garante
, concluímos, pela definição epsilon‑delta, que