A temperatura em uma placa de metal aquecida de forma irregular posicionada no primeiro quadrante do plano x y é dada por
C(x, y)=\frac{25 x y+25}{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+1}
Assuma que a temperatura é medida em graus Celsius e que x e y são medidos em centímetros.
(Nota: Em nenhum momento nas questões a seguir você deve expandir o denominador de C(x, y).)
(a) Determine \left.\frac{\partial C}{\partial x}\right|_{(x, y)} e \left.\frac{\partial C}{\partial y}\right|_{(x, y)}.
(b) Se uma formiga está na placa de metal, parada no ponto ( 2,3 ), e começa a andar na direção paralela ao eixo y positivo, a que taxa a temperatura que a formiga está experimentando mudará? Explique, e inclua as unidades apropriadas.
(c) Se uma formiga está andando ao longo da reta y=3 na direção x positiva, a que taxa instantânea a temperatura que a formiga está experimentando mudará quando a formiga passar pelo ponto (1,3) ?
(d) Agora suponha que a formiga está posicionada no ponto (6,3) e anda em linha reta em direção ao ponto (2,0). Determine a taxa média de variação da temperatura (por unidade de distância percorrida) que a formiga encontra ao se mover entre esses dois pontos. Explique seu raciocínio cuidadosamente. Quais são as unidades da sua resposta?

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura na placa como
C(x,y)=\frac{25xy+25}{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+1},
onde C está em graus Celsius e x,y em centímetros. O enunciado pede quatro coisas:
  • (a) Encontrar \left.\dfrac{\partial C}{\partial x}\right|_{(x,y)} e \left.\dfrac{\partial C}{\partial y}\right|_{(x,y)}.
  • (b) Se uma formiga está no ponto (2,3) e começa a andar na direção paralela ao eixo y positivo, a que taxa a temperatura que a formiga sente mudará? (Incluir unidades.)
  • (c) Se a formiga anda ao longo da reta y=3 na direção x positiva, qual é a taxa instantânea de variação da temperatura quando a formiga passa por (1,3) ?
  • (d) Se a formiga vai do ponto (6,3) até (2,0) em linha reta, qual é a taxa média de variação da temperatura por unidade de distância percorrida entre esses pontos? (Incluir unidades.)
Observação: o enunciado pede explicitamente para não expandir o denominador; então manterei o denominador na forma (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+1. Vou trabalhar passo a passo e explicar cada ideia.

Passo 2

Breve aula: o que é uma derivada parcial e como calcular?
  • A derivada parcial \dfrac{\partial C}{\partial x} mede a taxa de variação de C quando apenas x muda e y fica fixo. Unidades: graus Celsius por centímetro \left({}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{cm}\right).
  • Para uma quociente C(x,y)=\dfrac{N(x,y)}{D(x,y)} a regra é a regra do quociente (como em cálculo univariado), tratada como função de x com y constante:
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{N}{D}\right) =\frac{D\cdot\frac{\partial N}{\partial x}-N\cdot\frac{\partial D}{\partial x}}{D^{2}}.
Vou aplicar isso com N(x,y)=25xy+25 e D(x,y)=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+1. Note que \dfrac{\partial N}{\partial x}=25y e \dfrac{\partial D}{\partial x}=2(x-1). De modo análogo para a derivada em relação a y: \dfrac{\partial N}{\partial y}=25x e \dfrac{\partial D}{\partial y}=2(y-1).

Passo 3

Calcular \left.\dfrac{\partial C}{\partial x}\right|_{(x,y)} passo a passo usando a regra do quociente.
  • Identificamos: N(x,y)=25xy+25,\qquad D(x,y)=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+1.
  • Derivadas parciais necessárias: \frac{\partial N}{\partial x}=25y,\qquad \frac{\partial D}{\partial x}=2(x-1).
  • Aplicando a regra do quociente: \left.\frac{\partial C}{\partial x}\right|_{(x,y)} =\frac{D\cdot(25y)-(25xy+25)\cdot 2(x-1)}{D^{2}}.
  • Podemos, se quisermos, colocar um fator 25 em evidência no numerador: \left.\frac{\partial C}{\partial x}\right|_{(x,y)} =\frac{25\bigl(yD-(xy+1)\cdot 2(x-1)\bigr)}{D^{2}},
onde lembramos D=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+1. Não expandimos D.

Passo 4

Calcular \left.\dfrac{\partial C}{\partial y}\right|_{(x,y)} passo a passo, de forma análoga.
  • Derivadas parciais necessárias: \frac{\partial N}{\partial y}=25x,\qquad \frac{\partial D}{\partial y}=2(y-1).
  • Aplicando a regra do quociente: \left.\frac{\partial C}{\partial y}\right|_{(x,y)} =\frac{D\cdot(25x)-(25xy+25)\cdot 2(y-1)}{D^{2}}.
  • Colocando 25 em evidência no numerador: \left.\frac{\partial C}{\partial y}\right|_{(x,y)} =\frac{25\bigl(xD-(xy+1)\cdot 2(y-1)\bigr)}{D^{2}}.
Essas duas expressões resolvem a parte (a).

Passo 5

Parte (b): formiga em (2,3) andando na direção paralela ao eixo y positivo.
  • Interpretação: andar paralelo ao eixo y positivo significa que, por unidade de deslocamento ao longo da trajetória, a taxa de variação da temperatura é dada pela derivada direcional na direção (0,1). Como essa direção é exatamente a direção do eixo y, a derivada direcional por unidade de deslocamento é simplesmente \left.\dfrac{\partial C}{\partial y}\right|_{(2,3)}. (Se fosse pedida taxa por unidade de tempo, precisaríamos da velocidade; como não foi dada, apresentamos a taxa por unidade de distância ao longo de y, ou seja por centímetro.)
  • Calcular valores numéricos em (2,3). Primeiro calcule D em (2,3): D(2,3)=(2-1)^{2}+(3-1)^{2}+1=1+4+1=6.
  • Calcule 25xy+25 em (2,3): 25\,(2\cdot3)+25=25\cdot6+25=150+25=175.
  • Agora plugando em \left.\dfrac{\partial C}{\partial y}\right|: \left.\frac{\partial C}{\partial y}\right|_{(2,3)} =\frac{25x\cdot D-(25xy+25)\cdot 2(y-1)}{D^{2}} =\frac{25\cdot 2\cdot 6 - 175\cdot 2(3-1)}{6^{2}}.Calcule termOS: 25\cdot 2\cdot 6=300,\qquad 175\cdot 2(3-1)=175\cdot 4=700.Então \left.\frac{\partial C}{\partial y}\right|_{(2,3)}=\frac{300-700}{36}=\frac{-400}{36}=-\frac{100}{9}.
  • Unidades: {}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{cm}. Interpretação física: ao mover-se um centímetro na direção positiva de y a partir de (2,3), a temperatura que a formiga sente diminui em \tfrac{100}{9}\,^\circ\mathrm{C} (ou seja, cerca de -11{,}11\,^\circ\mathrm{C} por centímetro). Se a formiga caminhasse com velocidade v (cm/s), a taxa por unidade de tempo seria v vezes esse valor.

Passo 6

Parte (c): formiga anda ao longo de y=3 na direção x positiva, taxa instantânea quando passa por (1,3).
  • Aqui a trajetória tem y constante, então a taxa por unidade de deslocamento ao longo da reta é \left.\dfrac{\partial C}{\partial x}\right| no ponto considerado. Novamente, é taxa por unidade de distância (cm) na direção positiva de x.
  • Calcule D em (1,3): D(1,3)=(1-1)^{2}+(3-1)^{2}+1=0+4+1=5.
  • Observe que x-1=0 em x=1, então na expressão de \dfrac{\partial C}{\partial x} o termo (25xy+25)\cdot 2(x-1) fica zero. Assim \left.\frac{\partial C}{\partial x}\right|_{(1,3)}=\frac{25y\cdot D}{D^{2}}=\frac{25\cdot 3\cdot 5}{5^{2}}=\frac{375}{25}=15.
  • Unidades: {}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{cm}. Interpretação: ao avançar um centímetro na direção positiva de x em y=3 passando por (1,3), a temperatura aumenta 15\,^\circ\mathrm{C} por centímetro (variação positiva).

Passo 7

Parte (d): taxa média de variação da temperatura por unidade de distância quando a formiga vai de (6,3) até (2,0) ao longo da reta.
  • A taxa média por unidade de distância é definida como a variação total de C dividida pela distância total percorrida: \text{taxa média}=\frac{C(\text{final})-C(\text{inicial})}{\text{distância}}.éâ
  • Primeiro calcular C(6,3): N(6,3)=25\cdot 6\cdot 3+25=25\cdot 18+25=450+25=475,
D(6,3)=(6-1)^{2}+(3-1)^{2}+1=25+4+1=30,
C(6,3)=\frac{475}{30}=\frac{95}{6}\\ \,^\circ\mathrm{C}.
  • Calcular C(2,0): N(2,0)=25\cdot 2\cdot 0+25=25,
D(2,0)=(2-1)^{2}+(0-1)^{2}+1=1+1+1=3,
C(2,0)=\frac{25}{3}\\ \,^\circ\mathrm{C}.
  • Variação de temperatura: \Delta C=C(2,0)-C(6,3)=\frac{25}{3}-\frac{95}{6}=\frac{50-95}{6}=-\frac{45}{6}=-\frac{15}{2}\\ \,^\circ\mathrm{C}.
  • Distância entre (6,3) e (2,0): \text{distância}=\sqrt{(6-2)^{2}+(3-0)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{cm}.â
  • Taxa média por unidade de distância: \frac{\Delta C}{\text{distância}}=\frac{-\tfrac{15}{2}}{5}=-\frac{15}{10}=-\frac{3}{2}.â
  • Unidades: {}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{cm}. Interpretação: ao longo do trajeto, em média a formiga encontra uma diminuição de temperatura de 1{,}5\,^\circ\mathrm{C} por centímetro no sentido do movimento.

Resposta

(a) \displaystyle \left.\frac{\partial C}{\partial x}\right|_{(x,y)}=\frac{( (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+1)\cdot(25y)-(25xy+25)\cdot 2(x-1)}{\bigl((x-1)^{2}+(y-1)^{2}+1\bigr)^{2}},
\displaystyle \left.\frac{\partial C}{\partial y}\right|_{(x,y)}=\frac{( (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+1)\cdot(25x)-(25xy+25)\cdot 2(y-1)}{\bigl((x-1)^{2}+(y-1)^{2}+1\bigr)^{2}}
(b) \displaystyle \left.\frac{\partial C}{\partial y}\right|_{(2,3)}=-\frac{100}{9}\\ \,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{cm}
(c) \displaystyle \left.\frac{\partial C}{\partial x}\right|_{(1,3)}=15\\ \,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{cm}
(d) \displaystyle \text{taxa média}=-\frac{3}{2}\\ \,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{cm}é

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