Utilize a Definiçõ de derivada para calcular o limite indicado.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{h^{2}+1}-1}{h}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{h^{2}+1}-1}{h}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A expressão dentro do limite é \dfrac{\frac{1}{h^{2}+1}-1}{h}.
  • O limite é calculado quando h tende a 0.
  • Queremos encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Uma observação útil (mas não obrigatória) é reconhecer a forma do quociente de diferença de uma função. Definimos a função
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Então f(0)=\dfrac{1}{1+0^{2}}=1. Note que a expressão do enunciado é exatamente
\frac{f(h)-f(0)}{h},
portanto o limite pedido é o derivada de f em 0, isto é
\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=f'(0).
Agora vou explicar rapidamente o que é derivada pela definição: a derivada de uma função f em um ponto a é
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
quando esse limite existe. Aqui a é o ponto onde avaliamos a derivada (no nosso caso a=0), h é a variação em x e a fração mede a taxa média de variação de f em torno de a; o limite quando h\to 0 dá a taxa instantânea de variação.

Passo 3

Apesar de podermos usar regras de derivação para obter f'(0), é mais direto simplificar algebricamente a expressão do limite. Começamos manipulando o numerador:
\frac{1}{h^{2}+1}-1=\frac{1-(h^{2}+1)}{h^{2}+1}=\frac{1-h^{2}-1}{h^{2}+1}=\frac{-h^{2}}{h^{2}+1}.
Substituindo no quociente original:
\frac{\frac{1}{h^{2}+1}-1}{h}=\frac{\displaystyle\frac{-h^{2}}{h^{2}+1}}{h}.

Passo 4

Continuando a simplificação, dividir por h é o mesmo que multiplicar por 1/h, então
\frac{\displaystyle\frac{-h^{2}}{h^{2}+1}}{h}=\frac{-h^{2}}{h(h^{2}+1)}.
Agora cancele um fator h (válido para h\neq 0, e no limite isso é permitido):
\frac{-h^{2}}{h(h^{2}+1)}=\frac{-h}{h^{2}+1}.

Passo 5

Agora calcule o limite da expressão simplificada quando h\to 0:
\lim_{h\to 0}\frac{-h}{h^{2}+1}.
Como h^{2}+1 tende para 1 quando h\to 0 e o numerador -h tende para 0, o limite é
\frac{0}{1}=0.

Passo 6

Para confirmar e treinar outra técnica, podemos também obter a derivada de f(x)=(1+x^{2})^{-1} usando a regra da cadeia: se f(x)=(1+x^{2})^{-1}, então
f'(x)=-1\cdot(1+x^{2})^{-2}\cdot 2x=\frac{-2x}{(1+x^{2})^{2}}.
Avaliando em x=0 obtemos
f'(0)=\frac{-2\cdot 0}{(1+0^{2})^{2}}=0,
o que confirma o resultado obtido pela simplificação algébrica. Ótimo — dois caminhos, mesma resposta.

Resposta

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