Utilize a Definiçõ de derivada para calcular o limite indicado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
As informações dadas são: há uma expressão que envolve
com
e aparecem os números
e
. O objetivo final é encontrar o valor numérico desse limite quando
tende a zero.
Passo 2
Primeiro vamos reconhecer a estrutura da expressão: ela tem a forma de uma diferença dividida por
. Definimos a função
Aqui
significa: pegue
, eleve ao quadrado, some
, e depois faça a inversa (ou seja, divida
por esse resultado). Note que
o que aparece na expressão do numerador. A expressão do enunciado é exatamente a diferença incremental
. Segundo a definição de derivada, este limite é o valor de
, isto é, a derivada de
no ponto
. Vou agora calcular esse limite passo a passo, usando a própria diferença
.
Passo 3
Escrevemos explicitamente a diferença no numerador e juntamos as frações:
Para simplificar somamos as duas frações do numerador com denominador comum. O denominador comum é
. Fazendo a subtração no numerador obtemos
Passo 4
Agora simplificamos a expressão
. Desenvolvendo
temos
. Então
Substituindo de volta, o numerador fica
e a expressão total é
Passo 5
Fatoramos
no numerador para poder cancelar com o
do denominador (lembrando que no processo de limite consideramos
até a passagem para
):
Substituindo e cancelando o
comum, obtemos
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
. Como a expressão obtida é contínua em
ao redor de
, podemos simplesmente substituir
:
Portanto o limite existe e vale
.