Utilize a Definiçõ de derivada para calcular o limite indicado.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{(1+h)^{2}+1}-\frac{1}{2}}{h}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{(1+h)^{2}+1}-\frac{1}{2}}{h}.
As informações dadas são: há uma expressão que envolve h com \;h\to 0\; e aparecem os números (1+h) e \frac{1}{2}. O objetivo final é encontrar o valor numérico desse limite quando h tende a zero.

Passo 2

Primeiro vamos reconhecer a estrutura da expressão: ela tem a forma de uma diferença dividida por h. Definimos a função
f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}.
Aqui f(x) significa: pegue x, eleve ao quadrado, some 1, e depois faça a inversa (ou seja, divida 1 por esse resultado). Note que
f(1)=\frac{1}{1^{2}+1}=\frac{1}{2},
o que aparece na expressão do numerador. A expressão do enunciado é exatamente a diferença incremental \frac{f(1+h)-f(1)}{h}. Segundo a definição de derivada, este limite é o valor de f'(1), isto é, a derivada de f no ponto x=1. Vou agora calcular esse limite passo a passo, usando a própria diferença \frac{f(1+h)-f(1)}{h}.

Passo 3

Escrevemos explicitamente a diferença no numerador e juntamos as frações:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{\dfrac{1}{(1+h)^{2}+1}-\dfrac{1}{2}}{h}.
Para simplificar somamos as duas frações do numerador com denominador comum. O denominador comum é 2\big((1+h)^{2}+1\big). Fazendo a subtração no numerador obtemos
\frac{1}{(1+h)^{2}+1}-\frac{1}{2}=\frac{2-\big((1+h)^{2}+1\big)}{2\big((1+h)^{2}+1\big)}.

Passo 4

Agora simplificamos a expressão 2-\big((1+h)^{2}+1\big). Desenvolvendo (1+h)^{2} temos (1+h)^{2}=1+2h+h^{2}. Então
2-\big((1+h)^{2}+1\big)=2-(1+2h+h^{2}+1)=2-(2+2h+h^{2})=-2h-h^{2}.
Substituindo de volta, o numerador fica -2h-h^{2} e a expressão total é
\frac{\dfrac{1}{(1+h)^{2}+1}-\dfrac{1}{2}}{h}=\frac{-2h-h^{2}}{2\big((1+h)^{2}+1\big)\cdot h}.

Passo 5

Fatoramos h no numerador para poder cancelar com o h do denominador (lembrando que no processo de limite consideramos h\neq 0 até a passagem para 0):
-2h-h^{2}=h(-2-h).
Substituindo e cancelando o h comum, obtemos
\frac{-2h-h^{2}}{2\big((1+h)^{2}+1\big)\cdot h}=\frac{h(-2-h)}{2\big((1+h)^{2}+1\big)\cdot h}=\frac{-2-h}{2\big((1+h)^{2}+1\big)}.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to 0. Como a expressão obtida é contínua em h ao redor de 0, podemos simplesmente substituir h=0:
\lim_{h\to 0}\frac{-2-h}{2\big((1+h)^{2}+1\big)}=\frac{-2-0}{2\big((1+0)^{2}+1\big)}=\frac{-2}{2(1+1)}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}.
Portanto o limite existe e vale -\tfrac{1}{2}.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados