Utilize uma expansão em coordenadas cartesianas para mostrar que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar G é igual a zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em coordenadas cartesianas, que o rotacional (curl) do gradiente de qualquer campo escalar G é sempre o vetor nulo. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, usando derivadas parciais de segunda ordem e a propriedade de que as derivadas mistas comutam para funções suficientemente suaves (clássicas, de classe C^2).

Passo 2

Escrevemos primeiro o gradiente de G(x,y,z). Em coordenadas cartesianas,
\nabla G = \Bigl(\frac{\partial G}{\partial x},\,\frac{\partial G}{\partial y},\,\frac{\partial G}{\partial z}\Bigr).

Passo 3

Em seguida, lembramos a fórmula do rotacional de um campo vetorial \mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z):
\nabla\times\mathbf{A} = \Bigl(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},\; \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},\; \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\Bigr).

Passo 4

Agora substituímos \mathbf{A}=\nabla G, ou seja A_x=G_x, A_y=G_y, A_z=G_z. Cada componente do rotacional fica:
(\nabla\times(\nabla G))_x =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(G_z\Bigr) -\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(G_y\Bigr) =\frac{\partial^2 G}{\partial y\partial z} -\frac{\partial^2 G}{\partial z\partial y} =0,
(\nabla\times(\nabla G))_y =\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(G_x\Bigr) -\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(G_z\Bigr) =\frac{\partial^2 G}{\partial z\partial x} -\frac{\partial^2 G}{\partial x\partial z} =0,
(\nabla\times(\nabla G))_z =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(G_y\Bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(G_x\Bigr) =\frac{\partial^2 G}{\partial x\partial y} -\frac{\partial^2 G}{\partial y\partial x} =0.
Em cada caso usamos que, para G\in C^2, vale \partial^2G/(\partial i\,\partial j)=\partial^2G/(\partial j\,\partial i).

Passo 5

Como todas as três componentes do vetor \nabla\times(\nabla G) são zero, concluímos que
\nabla\times(\nabla G)=\mathbf{0}.

Resposta

\nabla\times(\nabla G)=\mathbf{0}.

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