Um condutor sólido e não magnético de seção reta circular tem um raio de 2 mm . O condutor é não homogêneo, \operatorname{com} \sigma=10{6}\left(1+10{6} \rho^{2}\right) \mathrm{S} / \mathrm{m}. Se o condutor tem 1 m de comprimento e é
submetido a uma tensão de 1 mV entre suas extremidades, calcule: a) \mathbf{H} dentro do condutor; b) o fluxo magnético total dentro do condutor. i) (Uma inversão do Problema 7.20.)

Passo 1

O enunciado descreve um condutor cilíndrico de raio R=2\:\text{mm}=2\times10^{-3}\:\text{m} e comprimento L=1\:\text{m}, cuja condutividade varia com a distância radial \rho segundo
\sigma(\rho)=10^{6}\bigl(1+10^{6}\rho^{2}\bigr)\:\mathrm{S/m}.
Aplicamos uma diferença de potencial V=1\:\text{mV}=10^{-3}\:\text{V} entre as extremidades; o conteúdo é eletromagnetismo, com densidade de corrente J, Lei de Ampère para H e cálculo de fluxo magnético.

Passo 2

Como o campo elétrico é uniforme ao longo do cilindro,
E=\frac{V}{L}=\frac{10^{-3}}{1}=10^{-3}\:\mathrm{V/m},
e a densidade de corrente axial é
J_{z}(\rho)=\sigma(\rho)\,E=10^{6}\bigl(1+10^{6}\rho^{2}\bigr)\,10^{-3} =10^{3}\bigl(1+10^{6}\rho^{2}\bigr)\:\mathrm{A/m^{2}}.

Passo 3

Pela simetria cilíndrica, o campo magnético tem só componente azimutal H_{\varphi}(\rho), e a Lei de Ampère indica
\oint H\cdot dl =H_{\varphi}(\rho)\,(2\pi\rho) =\int_{0}^{\rho}J_{z}(\rho')\,(2\pi\rho')\,d\rho'.
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H_{\varphi}(\rho) =\frac{1}{\rho}\int_{0}^{\rho}J_{z}(\rho')\,\rho'\,d\rho'.

Passo 4

Substituindo J_{z}(\rho')=10^{3}\bigl(1+10^{6}\rho'^{2}\bigr), temos
\int_{0}^{\rho}J_{z}(\rho')\,\rho'\,d\rho' =10^{3}\int_{0}^{\rho}\bigl(\rho'+10^{6}\rho'^{3}\bigr)\,d\rho' =10^{3}\Bigl[\tfrac{\rho^{2}}{2}+\tfrac{10^{6}\,\rho^{4}}{4}\Bigr].
Dividindo por \rho resulta
H_{\varphi}(\rho) =10^{3}\Bigl(\frac{\rho}{2}+\frac{10^{6}\,\rho^{3}}{4}\Bigr) =500\,\rho+2{,}5\times10^{8}\,\rho^{3} \quad\bigl[\mathrm{A/m}\bigr].

Passo 5

Portanto, a resposta do item (a) é
\boxed{H_{\varphi}(\rho)=10^{3}\Bigl(\frac{\rho}{2}+\frac{10^{6}\,\rho^{3}}{4}\Bigr)\:\mathrm{A/m}} \quad(0\le\rho\le2\times10^{-3}\:\mathrm{m}).

Passo 6

Para o fluxo magnético total dentro do condutor, escolhemos a superfície longitudinal radial cujo vetor normal está na direção \boldsymbol{\hat\varphi}. Como \boldsymbol{B}=\mu_{0}\,H,
\Phi =\iint_{S} \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S} =\mu_{0}\int_{z=0}^{L}\!dz\int_{\rho=0}^{R}H_{\varphi}(\rho)\,d\rho =\mu_{0}\,L\int_{0}^{R}H_{\varphi}(\rho)\,d\rho.

Passo 7

Substituindo H_{\varphi}(\rho)=10^{3}\bigl(\tfrac{\rho}{2}+\tfrac{10^{6}\rho^{3}}{4}\bigr) e L=1,
\int_{0}^{R}H_{\varphi}(\rho)\,d\rho =10^{3}\Bigl[\frac{R^{2}}{4}+\frac{10^{6}\,R^{4}}{16}\Bigr].
Como R=2\times10^{-3}\:\mathrm{m}, tem-se
\frac{R^{2}}{4}=\frac{(2\times10^{-3})^{2}}{4}=1\times10^{-6}, \quad \frac{10^{6}R^{4}}{16} =\frac{10^{6}(2\times10^{-3})^{4}}{16}=1\times10^{-6},
logo a integral vale 10^{3}\times2\times10^{-6}=2\times10^{-3}. Assim
\Phi =\mu_{0}\,(2\times10^{-3}) =4\pi\times10^{-7}\times2\times10^{-3} =8\pi\times10^{-10}\:\mathrm{Wb} \approx2{,}51\times10^{-9}\:\mathrm{Wb}.

Resposta

(a) \displaystyle H_{\varphi}(\rho)=10^{3}\Bigl(\tfrac{\rho}{2}+\tfrac{10^{6}\,\rho^{3}}{4}\Bigr)\:\mathrm{A/m}.
(b) \displaystyle \Phi=8\pi\times10^{-10}\:\mathrm{Wb}\approx2{,}51\times10^{-9}\:\mathrm{Wb}.

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