Utilize indução matemática para justificar o binômio de Newton: Dados 
 , quaisquer, temos
 
onde 
 . Além disso, utilize o binômio de Newton para estudar a convergência ou divergência da série 
  onde
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar indução matemática para provar o Binômio de Newton. Basicamente, a gente precisa mostrar que 
  pode ser expandido como uma soma envolvendo os coeficientes binomiais 
 . Além disso, depois de provar isso, vamos usar o Binômio de Newton para analisar se a série 
  converge ou diverge. Para isso, vamos precisar lembrar como funcionam os coeficientes binomiais e os conceitos básicos de indução matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos provar o Binômio de Newton usando indução matemática.
Caso Base: Vamos verificar para 
 .
E a soma:
Então, para 
 , a igualdade vale.
Passo 3
Hipótese de Indução: Suponha que a igualdade vale para algum 
 , ou seja,
Passo 4
Passo Indutivo: Agora, vamos provar que a igualdade também vale para 
 .
Começamos expandindo 
 :
Usando a hipótese de indução:
Distribuindo:
Vamos ajustar os índices para combinar os termos:
Isso resulta em:
Usando a definição dos coeficientes binomiais, sabemos que:
Portanto, ao combinar os termos, obtemos:
Isso mostra que a igualdade vale para 
 .
Passo 5
Como provamos o caso base e mostramos que se vale para 
 , então vale para 
 , pela indução matemática, concluímos que o Binômio de Newton é verdadeiro para todo 
 .
Passo 6
Agora, vamos analisar a série 
 :
Usando o Binômio de Newton, sabemos que:
Se escolhermos 
 , temos:
Portanto:
Então, para todo 
 , 
 .
Resposta
A série 
  converge para 1.