Utilize limites Fundamentais para calcular os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x-1}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to \infty}\Bigl(\frac{x+1}{x-1}\Bigr)^{x-1}
e vamos usar o limite fundamental
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{a}{n}\Bigr)^{n}=e^{a}.

Passo 2

Reescrevemos a base como
\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}.
Então a expressão torna-se
\Bigl(1+\frac{2}{x-1}\Bigr)^{\,x-1}.

Passo 3

Fazendo a troca de variável n=x-1, quando x\to\infty temos n\to\infty e
\Bigl(1+\frac{2}{x-1}\Bigr)^{x-1} =\Bigl(1+\frac{2}{n}\Bigr)^{n}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;e^{2}.

Resposta

e^{2}

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