Utilize limites Fundamentais para calcular os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\tan ^{2}(2 x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{\tan^{2}(2x)}.
O conteúdo é limites fundamentais, em particular
\lim_{u\to0}\frac{\tan(u)}{u}=1,
que implica \tan(u)\approx u quando u é pequeno.

Passo 2

Reescrevemos a expressão para expor esse limite:
\frac{x^{2}}{\tan^{2}(2x)} =\Bigl(\frac{x}{\tan(2x)}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Para usar \lim_{u\to0}u/\tan(u)=1 com u=2x, fatoramos:
\frac{x}{\tan(2x)} =\frac{1}{2}\,\frac{2x}{\tan(2x)},
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\Bigl(\frac{x}{\tan(2x)}\Bigr)^{2} =\frac{1}{4}\,\Bigl(\frac{2x}{\tan(2x)}\Bigr)^{2}.

Passo 4

Aplicando o limite fundamental em u=2x:
\lim_{x\to0}\frac{2x}{\tan(2x)}=1,
então
\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{\tan^{2}(2x)} =\frac{1}{4}\cdot1^{2} =\frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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