Utilize o método dos coeficientes para resolver o sistema dado.
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}4 & \frac{1}{3} \\\\ 9 & 6\end{array}\right) \mathbf{X}+\binom{-3}{10} e^{t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear não homogêneo
\mathbf X' = A\,\mathbf X + \mathbf b\,e^t
onde
A = \begin{pmatrix}4 & \tfrac13\\[6pt]9 & 6\end{pmatrix}, \qquad \mathbf b = \begin{pmatrix}-3\\[3pt]10\end{pmatrix}.
O conteúdo é sistemas lineares com termo forçante exponencial, e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral do sistema homogêneo \mathbf X'=A\mathbf X e depois uma solução particular do tipo \mathbf X_p=a\,e^t.]

Passo 2

Vamos resolver o homogêneo \mathbf X'=A\mathbf X. A matriz característica é
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}4-\lambda & \tfrac13\\[3pt]9 & 6-\lambda\end{pmatrix} =(4-\lambda)(6-\lambda)-3 =\lambda^2-10\lambda+21,
cuja raiz são \lambda_1=7 e \lambda_2=3.]

Passo 3

Encontramos um autovetor para cada autovalor.
Para \lambda_1=7 resolvemos
(A-7I)v_1 = \begin{pmatrix}-3 & \tfrac13\\[3pt]9 & -1\end{pmatrix}v_1=0 \implies -3x+\tfrac13y=0\implies y=9x,
logo podemos escolher v_1=(1,9)^T.
Para \lambda_2=3 resolvemos
(A-3I)v_2 = \begin{pmatrix}1 & \tfrac13\\[3pt]9 & 3\end{pmatrix}v_2=0 \implies x+\tfrac13y=0\implies y=-3x,
logo um autovetor é v_2=(1,-3)^T.
Assim a solução geral do homogêneo é
\mathbf X_h(t) = C_1\,\begin{pmatrix}1\\\ 9\end{pmatrix}e^{7t} + C_2\,\begin{pmatrix}1\\\ -3\end{pmatrix}e^{3t}.]

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular do tipo
\mathbf X_p(t)=a\,e^t,
com a=(a_1,a_2)^T\) constante. Substituindo em \(\mathbf X'=A\mathbf X+\mathbf b\,e^t\): \[a\,e^t = A(a\,e^t)+\mathbf b\,e^t \;\Longrightarrow\; (A-I)a = -\,\mathbf b.
Escrevendo A-I:
A-I =\begin{pmatrix}3 & \tfrac13\\[3pt]9 & 5\end{pmatrix}, \quad -\,\mathbf b = \begin{pmatrix}3\\\ -10\end{pmatrix}.
Resolvendo
\begin{cases} 3a_1 + \tfrac13a_2 =3,\\[3pt] 9a_1 + 5a_2 = -10, \end{cases}
multiplicando a primeira por 3 dá 9a_1+a_2=9\]. Subtraindo da segunda: \[9a_1+5a_2 - (9a_1+a_2) = -10 - 9 \;\Longrightarrow\; 4a_2 = -19 \;\Longrightarrow\; a_2 = -\tfrac{19}{4},\] e então \(9a_1 + a_2 = 9
9a_1 = 9 - a_2 = 9 + \tfrac{19}{4} = \tfrac{55}{4} \;\Longrightarrow\; a_1 = \tfrac{55}{36}.
Portanto
\mathbf X_p(t) = \begin{pmatrix}\tfrac{55}{36}\\[3pt]-\tfrac{19}{4}\end{pmatrix} e^t.]

Passo 5

A solução geral do sistema não homogêneo é
\mathbf X(t) = \mathbf X_h(t) + \mathbf X_p(t) = C_1\begin{pmatrix}1\\\ 9\end{pmatrix}e^{7t} + C_2\begin{pmatrix}1\\\ -3\end{pmatrix}e^{3t} + \begin{pmatrix}\tfrac{55}{36}\\[3pt]-\tfrac{19}{4}\end{pmatrix}e^t.]

Resposta

\mathbf X(t) = C_1\begin{pmatrix}1\\\ 9\end{pmatrix}e^{7t} + C_2\begin{pmatrix}1\\\ -3\end{pmatrix}e^{3t} + \begin{pmatrix}\tfrac{55}{36}\\[3pt]-\tfrac{19}{4}\end{pmatrix}e^t.]

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