Utilize o método dos coeficientes para resolver o sistema dado. \mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}4 & \frac{1}{3} \\\\ 9 & 6\end{array}\right) \mathbf{X}+\binom{-3}{10} e^{t}
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear não homogêneo
\mathbf X' = A\,\mathbf X + \mathbf b\,e^t
onde
A = \begin{pmatrix}4 & \tfrac13\\[6pt]9 & 6\end{pmatrix}, \qquad \mathbf b = \begin{pmatrix}-3\\[3pt]10\end{pmatrix}.
O conteúdo é sistemas lineares com termo forçante exponencial, e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral do sistema homogêneo \mathbf X'=A\mathbf X e depois uma solução particular do tipo \mathbf X_p=a\,e^t.]
Passo 2
Vamos resolver o homogêneo \mathbf X'=A\mathbf X. A matriz característica é
multiplicando a primeira por 3 dá 9a_1+a_2=9\]. Subtraindo da segunda:
\[9a_1+5a_2 - (9a_1+a_2) = -10 - 9 \;\Longrightarrow\; 4a_2 = -19 \;\Longrightarrow\; a_2 = -\tfrac{19}{4},\]
e então \(9a_1 + a_2 = 9 dá