Utilize o método dos coeficientes para resolver o sistema dado. \mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 3 & 1\end{array}\right) \mathbf{X}+\binom{-2 t^{2}}{t+5}
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs lineares
\mathbf X'=\begin{pmatrix}1&3\\\ 3&1\end{pmatrix}\mathbf X +\begin{pmatrix}-2t^2\t+5\end{pmatrix}
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução geral do sistema homogêneo e depois buscar uma solução particular polinomial, pois o termo não homogêneo é polinomial em t.
cuja raízes são \lambda_1=4 e \lambda_2=-2.
Para \lambda_1=4 temos vetor próprio \mathbf v_1=(1,1)^T;
para \lambda_2=-2 temos \mathbf v_2=(1,-1)^T.
Logo a solução homogênea é
No sistema \mathbf X_p'=A\mathbf X_p+(-2t^2,\;t+5)^T igualamos coeficientes de t^2,t,1 nos dois componentes, gerando seis equações lineares para \alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon,\zeta.
Passo 4
Das equações de t^2\) nos dois componentes obtemos
\[\begin{cases} \alpha+3\delta=2,\\\\ 3\alpha+\delta=0, \end{cases}
cuja solução é \alpha=-\frac14\], \(\delta=\frac34.
Passo 5
Das equações de t^1 e do termo constante resolvemos em sequência:
De t^1 no 1.º componente: 2\alpha=\beta+3\varepsilon.
De t^1 no 2.º componente: 2\delta=3\beta+\varepsilon+1.
Da constante no 1.º componente: \beta=\gamma+3\zeta.
Da constante no 2.º componente: \varepsilon=3\gamma+\zeta+5.
Substituindo \alpha e \delta e resolvendo o sistema dá \varepsilon=-\tfrac14, \beta=\tfrac14, \gamma=-2, \zeta=\tfrac34.