Utilize o método dos coeficientes para resolver o sistema dado.
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 3 & 1\end{array}\right) \mathbf{X}+\binom{-2 t^{2}}{t+5}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs lineares
\mathbf X'=\begin{pmatrix}1&3\\\ 3&1\end{pmatrix}\mathbf X +\begin{pmatrix}-2t^2\t+5\end{pmatrix}
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução geral do sistema homogêneo e depois buscar uma solução particular polinomial, pois o termo não homogêneo é polinomial em t.

Passo 2

Resolvendo o sistema homogêneo
\mathbf X' = A\,\mathbf X,\quad A=\begin{pmatrix}1&3\\\ 3&1\end{pmatrix},
procuramos autovalores de A. O polinômio característico é
\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)^2 -9 = \lambda^2 -2\lambda -8 =0,
cuja raízes são \lambda_1=4 e \lambda_2=-2.
Para \lambda_1=4 temos vetor próprio \mathbf v_1=(1,1)^T;
para \lambda_2=-2 temos \mathbf v_2=(1,-1)^T.
Logo a solução homogênea é
\mathbf X_h(t) = C_1 e^{4t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Procuramos solução particular do tipo polinomial de grau 2:
\mathbf X_p(t) =\begin{pmatrix} \alpha t^2 + \beta t + \gamma\\\ \delta t^2 + \varepsilon t + \zeta \end{pmatrix}.
Calculamos
\mathbf X_p'= \begin{pmatrix}2\alpha t+\beta\\\ 2\delta t+\varepsilon\end{pmatrix}, \quad A\,\mathbf X_p =\begin{pmatrix} (\alpha+3\delta)t^2+(\beta+3\varepsilon)t+(\gamma+3\zeta)\\\ (3\alpha+\delta)t^2+(3\beta+\varepsilon)t+(3\gamma+\zeta) \end{pmatrix}.
No sistema \mathbf X_p'=A\mathbf X_p+(-2t^2,\;t+5)^T igualamos coeficientes de t^2,t,1 nos dois componentes, gerando seis equações lineares para \alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon,\zeta.

Passo 4

Das equações de t^2\) nos dois componentes obtemos \[\begin{cases} \alpha+3\delta=2,\\\\ 3\alpha+\delta=0, \end{cases}
cuja solução é
\alpha=-\frac14\], \(\delta=\frac34.

Passo 5

Das equações de t^1 e do termo constante resolvemos em sequência:
  1. De t^1 no 1.º componente: 2\alpha=\beta+3\varepsilon.
  2. De t^1 no 2.º componente: 2\delta=3\beta+\varepsilon+1.
  3. Da constante no 1.º componente: \beta=\gamma+3\zeta.
  4. Da constante no 2.º componente: \varepsilon=3\gamma+\zeta+5.
    Substituindo \alpha e \delta e resolvendo o sistema dá
    \varepsilon=-\tfrac14, \beta=\tfrac14, \gamma=-2, \zeta=\tfrac34.

Passo 6

Assim a solução particular é
\mathbf X_p(t) =\begin{pmatrix} -\tfrac14\,t^2 + \tfrac14\,t -2\\[6pt] \tfrac34\,t^2 - \tfrac14\,t + \tfrac34 \end{pmatrix}.
Logo a solução geral do sistema é
\mathbf X(t) =\mathbf X_h(t)+\mathbf X_p(t) = C_1 e^{4t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -\tfrac14\,t^2 + \tfrac14\,t -2\\[4pt] \tfrac34\,t^2 - \tfrac14\,t + \tfrac34 \end{pmatrix}.]

Resposta

\boxed{ \mathbf X(t) = C_1 e^{4t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -\tfrac14\,t^2 + \tfrac14\,t -2\\\ \tfrac34\,t^2 - \tfrac14\,t + \tfrac34 \end{pmatrix}. }

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