Utilize o método dos coeficientes para resolver o sistema dado.
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 5\end{array}\right) \mathbf{X}+\left(\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right) e^{4 t}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema não homogêneo
\mathbf{X}' = A\,\mathbf{X} + \mathbf{B}\,e^{4t}
com
A = \begin{pmatrix}1&1&1\\\ 0&2&3\\\ 0&0&5\end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix}.
O conteúdo é a resolução de um sistema linear a coeficientes constantes usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro resolvemos o sistema homogêneo \mathbf{X}'=A\mathbf{X}. Como A é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal:
\lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=5.
Para cada \lambda_i achamos um autovetor v_i resolvendo (A-\lambda_i I)v_i=0:
Para \lambda_1=1:
(A-I)=\begin{pmatrix}0&1&1\\\ 0&1&3\\\ 0&0&4\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=2:
(A-2I)=\begin{pmatrix}-1&1&1\\\ 0&0&3\\\ 0&0&3\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Para \lambda_3=5:
(A-5I)=\begin{pmatrix}-4&1&1\\\ 0&-3&3\\\ 0&0&0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad v_3=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 3

A solução geral do homogêneo é
\mathbf{X}_h(t) = C_1 e^{t} \,v_1 + C_2 e^{2t}\,v_2 + C_3 e^{5t}\,v_3.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular do tipo \mathbf{X}_p(t)=v\,e^{4t}. Substituindo em
\mathbf{X}'=A\mathbf{X}+\mathbf{B}e^{4t} vem
4v\,e^{4t} = A v\,e^{4t} + \mathbf{B}e^{4t} \quad\Longrightarrow\quad (4I - A)\,v = \mathbf{B}.
Como
4I - A = \begin{pmatrix}3&-1&-1\\\ 0&2&-3\\\ 0&0&-1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix},
resolvemos o sistema triangular:
-v_3=2 \,\Rightarrow\,v_3=-2.
2v_2-3v_3=-1 \,\Rightarrow\,2v_2+6=-1 \,\Rightarrow\,v_2=-\tfrac{7}{2}.
3v_1-v_2-v_3=1 \,\Rightarrow\,3v_1+\tfrac{7}{2}+2=1 \,\Rightarrow\,3v_1=-\tfrac{9}{2} \,\Rightarrow\,v_1=-\tfrac{3}{2}.
Logo
v = \begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}\\[-4pt]-\tfrac{7}{2}\\[-2pt]-2\end{pmatrix},
e
\mathbf{X}_p(t)=\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}\\[-4pt]-\tfrac{7}{2}\\[-2pt]-2\end{pmatrix}e^{4t}.]

Passo 5

A solução geral do sistema não homogêneo é
\mathbf{X}(t) = \mathbf{X}_h(t) + \mathbf{X}_p(t) = C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + C_2 e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + C_3 e^{5t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}\\[-4pt]-\tfrac{7}{2}\\[-2pt]-2\end{pmatrix}e^{4t}.]

Resposta

\mathbf{X}(t) = C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + C_2 e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + C_3 e^{5t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}\\[-4pt]-\tfrac{7}{2}\\[-2pt]-2\end{pmatrix}e^{4t}.]

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