Use variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}3 & -5 \\\ \frac{3}{4} & -1\end{array}\right) \mathbf{X}+\binom{1}{-1} e^{t / 2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não‐homogêneo
\mathbf X' = A\,\mathbf X + \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}e^{t/2},
onde
A = \begin{pmatrix}3 & -5\\[6pt]\tfrac34 & -1\end{pmatrix}.
O método de variação de constantes consiste em:
  1. Resolver o sistema homogêneo \mathbf X'=A\mathbf X encontrando uma base de soluções fundamentais.
  2. Formar a matriz fundamental \Phi(t).
  3. Escrever \mathbf X(t)=\Phi(t)\,\mathbf C(t) e determinar \mathbf C(t) via
\mathbf C'(t)=\Phi(t)^{-1}\,\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}e^{t/2}.
  1. Integrar \mathbf C'(t) e montar a solução geral.]

Passo 2

Resolver \mathbf X'=A\mathbf X. Encontramos os autovalores de A pela equação característica
\det(A-\lambda I) =(3-\lambda)(-1-\lambda)-\Bigl(-5\cdot\tfrac34\Bigr) =\lambda^2-2\lambda+\tfrac34=0,
portanto
\lambda_1=\tfrac12,\quad \lambda_2=\tfrac32.
Para \lambda_1=\tfrac12 a equação (A-\tfrac12I)\mathbf v=0
\begin{pmatrix}2{,}5 & -5\\[3pt]0{,}75 & -1{,}5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \quad\Longrightarrow\quad v_1=2v_2,
logo um autovetor conveniente é
\mathbf v_1=\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=\tfrac32 a equação (A-\tfrac32I)\mathbf v=0
\begin{pmatrix}1{,}5 & -5\\[3pt]0{,}75 & -2{,}5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \quad\Longrightarrow\quad v_1=\tfrac{10}{3}v_2,
e podemos escolher
\mathbf v_2=\begin{pmatrix}10\\\ 3\end{pmatrix}.
Assim a solução geral do homogêneo é
\mathbf X_h(t) = C_1\,\mathbf v_1\,e^{t/2}+C_2\,\mathbf v_2\,e^{3t/2}.]

Passo 3

Formamos a matriz de autovetores e sua inversa:
P=\bigl[\mathbf v_1\;\mathbf v_2\bigr] =\begin{pmatrix}2 & 10\\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \quad P^{-1}=\frac1{2\cdot3-10\cdot1} \begin{pmatrix}3 & -10\\\ -1 & 2\end{pmatrix} =-\tfrac14\begin{pmatrix}3 & -10\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.
Logo a matriz fundamental pode ser escrita como
\Phi(t)=P\,\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\\ 0&e^{3t/2}\end{pmatrix}P^{-1}.
Pelo método da variação de constantes,
\mathbf C'(t)=\Phi(t)^{-1} \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}e^{t/2} =\begin{pmatrix}e^{-t/2}&0\\\ 0&e^{-3t/2}\end{pmatrix} P^{-1}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}e^{t/2}.
Calculamos primeiro
P^{-1}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} =-\tfrac14\begin{pmatrix}3&-10\\\ -1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} =-\tfrac14\begin{pmatrix}3+10\\\ -1-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{13}{4}\\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}.
Portanto
\mathbf C'(t) =\begin{pmatrix} e^{-t/2}&0\\[3pt]0&e^{-3t/2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-\tfrac{13}{4}\\[3pt]\tfrac{3}{4}\end{pmatrix} e^{t/2} =\begin{pmatrix} -\tfrac{13}{4}e^{(1/2-1/2)t}\\[6pt] \tfrac{3}{4}e^{(1/2-3/2)t} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{13}{4}\\[3pt]\tfrac{3}{4}e^{-t}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Integramos componente a componente:
C_1'(t)=-\tfrac{13}{4} \quad\Longrightarrow\quad C_1(t)=-\tfrac{13}{4}t+k_1,
C_2'(t)=\tfrac{3}{4}e^{-t} \quad\Longrightarrow\quad C_2(t)=-\tfrac{3}{4}e^{-t}+k_2.
Aqui k_1,k_2 são constantes de integração que serão absorvidas na solução homogênea.

Passo 5

A solução geral fica
\mathbf X(t) =\Phi(t)\begin{pmatrix}C_1(t)\C_2(t)\end{pmatrix} = C_1(t)\,\mathbf v_1\,e^{t/2} + C_2(t)\,\mathbf v_2\,e^{3t/2}.
Substituindo C_1(t) e C_2(t) e reagrupando as constantes k_1,k_2 em C_1,C_2, obtemos
\mathbf X(t) = C_1\,\begin{pmatrix}2 e^{t/2}\\[3pt]e^{t/2}\end{pmatrix} + C_2\,\begin{pmatrix}10 e^{3t/2}\\[3pt]3e^{3t/2}\end{pmatrix} +\underbrace{e^{t/2}\begin{pmatrix} -\tfrac12(13t+15)\\[6pt] -\tfrac14(13t+9) \end{pmatrix}}_{\mathbf X_p(t)}.]

Resposta

\boxed{ \mathbf X(t) = C_1\begin{pmatrix}2e^{t/2}\\[3pt]e^{t/2}\end{pmatrix} + C_2\begin{pmatrix}10e^{3t/2}\\[3pt]3e^{3t/2}\end{pmatrix} +e^{t/2}\begin{pmatrix} -\tfrac12(13t+15)\\[6pt] -\tfrac14(13t+9) \end{pmatrix}, }
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.]

Exercícios relacionados