Utilize o método do fator integrante para determinar uma solução geral para as EDO d y/d x - 2 x y = x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear: . A gente vai usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana pra resolver esse tipo de equação. Pra isso, vamos precisar lembrar como achar o fator integrante e aplicar ele na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação numa forma padrão. A equação está no formato:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante . Ele é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Com o fator integrante em mãos, multiplicamos toda a equação original por :
Isso transforma a equação numa forma onde o lado esquerdo é a derivada de .

Passo 5

A equação agora fica:
Agora, vamos integrar os dois lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente .

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito:
Fazendo uma substituição , temos , ou seja, . Então:

Passo 7

Voltando à equação integrada:
Agora, vamos resolver para dividindo tudo por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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