Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial:
ddotx-2 dotx+x=e^tt^3

Passo 1

A equação dada é ddotx-2dotx+x=e^tt^3. Trata-se de uma EDO linear de 2ª ordem não homogênea. Vamos usar o método de variação dos parâmetros: primeiro encontramos a solução geral da homogênea e depois construímos uma solução particular.

Passo 2

Resolvendo a homogênea ddotx-2dotx+x=0, a equação característica é r^2-2r+1=0, que tem raiz dupla r=1. Logo a solução geral homogênea é xh=(C1+C2t)e^t. Podemos tomar as soluções independentes y1=e^t e y2=te^t.

Passo 3

Precisamos do Wronskiano de y1,y2:
W=y1 & y2 y1' & y2' =e^t & te^t e^t & (1+t)e^t =e^2t(1+t)-te^2t=e^2t
As fórmulas de variação dos parâmetros dão
u1'=-y2,g(t)W, u2'=y1,g(t)W
onde g(t)=e^tt^3.

Passo 4

Substituindo, vem
nu1'=-te^tcdot(e^t/t^3)e^2t=-1t^2, nu2'=e^tcdot(e^t/t^3)e^2t=1t^3
Integrando,
nu1=integral -t^-2,dt=1t, nu2=integral t^-3,dt=-12t^2

Passo 5

A solução particular é xp=nu1y1+nu2y2=e^tt-e^t2t=e^t2t. Logo a solução geral fica
x(t)=(C1+C2t)e^t+e^t2t

Resposta

x(t)=(C1+C2t)e^t+e^t2t

Exercícios relacionados