Alguns dos resultados pedidos nos Problemas 17 a 22 podem ser obtidos resolvendo-se a equação dada analiticamente ou gerando-se gráficos de aproximações numéricas das soluções. Tente formar uma opinião sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem.
Considere o problema de valor inicial
b. Suponha que
. Encontre o instante
no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98.
Considere o problema de valor inicial
Passo 1
Vamos reformular rapidinho o que temos: o problema é resolver a EDO não-autônoma
com condição inicial
e depois achar o tempo
em que
. Aqui vamos precisar de separação de variáveis e frações parciais para integrar.
Passo 2
Separamos variáveis escrevendo
Agora fazemos a integração de cada lado. No lado esquerdo usamos frações parciais:
e assim
Do lado direito
Igualando as integrais e reunindo constantes, obtemos
com
constante.
Passo 3
Aplicamos a condição inicial
. Quando
, temos
Logo a solução explícita fica
ou seja
Passo 4
Agora impomos
. Chamando
,
Então
Calculando numericamente