Alguns dos resultados pedidos nos Problemas 17 a 22 podem ser obtidos resolvendo-se a equação dada analiticamente ou gerando-se gráficos de aproximações numéricas das soluções. Tente formar uma opinião sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem.
Considere o problema de valor inicial
y^prime=t y(4-y)3, y(0)=y0
b. Suponha que y0=0,5. Encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98.

Passo 1

Vamos reformular rapidinho o que temos: o problema é resolver a EDO não-autônoma y'=tfract3,y(4-y) com condição inicial y(0)=0,5 e depois achar o tempo T em que y(T)=3,98. Aqui vamos precisar de separação de variáveis e frações parciais para integrar.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo
dyy(4-y) = t3,dt
Agora fazemos a integração de cada lado. No lado esquerdo usamos frações parciais:
1y(4-y) = 1/4y + 1/44-y
e assim
integral dyy(4-y) = 14integrall(1y+14-yr)dy = 14lny4-y + C
Do lado direito
integral t3,dt = 13cdot t^22 = t^26 + C'
Igualando as integrais e reunindo constantes, obtemos
lny4-y = 23t^2 + K,
com K constante.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(0)=0,5. Quando t=0, temos
ln0,54-0,5 = K implies K = ln0,53,5 = ln17
Logo a solução explícita fica
y4-y = e^ln(1/7),e^(2/3)t^2 = 17e^(2/3)t^2,
ou seja
y(t) = 4,e^(2/3)t^27 + e^(2/3)t^2

Passo 4

Agora impomos y(T)=3,98. Chamando E = e^(2/3)T^2,
3,98 = 4E7+E implies 3,98(7+E) = 4E implies 27,86 + 3,98E = 4E implies 27,86 = 0,02E implies E = 1393
Então
23T^2 = ln(1393) implies T^2 = 32ln(1393) implies T = raiztfrac32ln(1393)
Calculando numericamente
ln(1393) approx 7,238, T^2 approx 1,5times 7,238 = 10,857, T approx raiz10,857 approx 3,30

Resposta

T approx 3,30

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