Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial:
ddotx-6 dotx+9 x=e^3 tt^2

Passo 1

O exercício pede para usar o método de variação de parâmetros para resolver a equação diferencial ddotx-6dotx+9x=e^3tt^2ou seja, é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Precisamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois construir uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea ddotx-6dotx+9x=0. Montamos a equação característica: r^2-6r+9=(r-3)^2=0logo temos raiz dupla r=3. Então as soluções fundamentais são y1(t)=e^3t, y2(t)=te^3t

Passo 3

Agora calculamos o Wronskiano de y1 e y2: W(t)=y1&y2y1'&y2'=e^3t&te^3t3e^3t&(1+3t)e^3t=e^6t(1+3t-3t)=e^6t

Passo 4

Aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros: u1'(t)=-y2(t),g(t)W(t), u2'(t)=y1(t),g(t)W(t),onde g(t)=e^3t/t^2. Isso dá u1'(t)=-te^3tcdot(e^3t/t^2)e^6t=-1t, u2'(t)=e^3tcdot(e^3t/t^2)e^6t=1t^2Integrando, obtemos u1(t)=-ln|t|+C1', u2(t)=-1t+C2'Como só precisamos de uma particular, podemos tomar as constantes de integração nulas: u1=-ln|t|, u2=-1/t.

Passo 5

A solução particular é xp(t)=u1(t)y1(t)+u2(t)y2(t)=-ln|t|,e^3t-1t,t e^3t=-e^3t(ln|t|+1)Somando à solução homogênea, a solução geral fica

Resposta

x(t)=C_1e{3t}+C_2te{3t}-e^{3t}(\ln|t|+1)

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