Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
O exercício pede para usar o método de variação de parâmetros para resolver a equação diferencialou seja, é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Precisamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois construir uma solução particular por variação de parâmetros.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea . Montamos a equação característica: logo temos raiz dupla . Então as soluções fundamentais são
Passo 3
Agora calculamos o Wronskiano de e :
Passo 4
Aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros:u1'(t)=-y2(t),g(t)W(t), u2'(t)=y1(t),g(t)W(t),onde g(t)=e^3t/t^2. Isso dáu1'(t)=-te^3tcdot(e^3t/t^2)e^6t=-1t, u2'(t)=e^3tcdot(e^3t/t^2)e^6t=1t^2Integrando, obtemosu1(t)=-ln|t|+C1', u2(t)=-1t+C2'Como só precisamos de uma particular, podemos tomar as constantes de integração nulas: u1=-ln|t|, u2=-1/t.
Passo 5
A solução particular é xp(t)=u1(t)y1(t)+u2(t)y2(t)=-ln|t|,e^3t-1t,t e^3t=-e^3t(ln|t|+1)Somando à solução homogênea, a solução geral fica