Utilize o método de variação dos parâmetros, resolva as EDOs:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=\operatorname{sec} x

Passo 1

Resumindo o enunciado, precisamos resolver a equação linear de segunda ordem não homogênea
\frac{d^2y}{dx^2}+y=\operatorname{sec} x
pelo método de variação de parâmetros. Vamos primeiro obter a solução geral da homogênea e em seguida encontrar uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''+y=0.
A equação característica é r^2+1=0, cujas raízes são r=\pm i. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cos x+C_2\sin x.

Passo 3

No método de variação de parâmetros escolhemos as soluções fundamentais
y_1(x)=\cos x,\quad y_2(x)=\sin x
e buscamos uma particular da forma
y_p(x)=u_1(x)\cos x+u_2(x)\sin x,
impondo a condição auxiliar
u_1'(x)\cos x+u_2'(x)\sin x=0.

Passo 4

O Wronskiano de y_1,y_2 é
W=\begin{vmatrix}\cos x & \sin x\\\ -\sin x & \cos x\end{vmatrix} =\cos^2x+\sin^2x=1.
As fórmulas para as derivadas das funções variáveis são
u_1'=-\frac{\operatorname{sec} x\;y_2}{W}=-\operatorname{sec} x\sin x=-\tan x, \quad u_2'=\frac{\operatorname{sec} x\;y_1}{W}=\operatorname{sec} x\cos x=1.

Passo 5

Integramos para obter
u_1(x)=\int -\tan x\,dx=\ln\lvert\cos x\rvert, \qquad u_2(x)=\int 1\,dx=x.

Passo 6

A solução particular fica
y_p(x)=u_1(x)\cos x+u_2(x)\sin x =\cos x\ln\lvert\cos x\rvert + x\sin x.

Passo 7

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular, isto é,
y(x)=y_h(x)+y_p(x).

Resposta

y(x)=C_1\cos x + C_2\sin x + \cos x\ln\lvert\cos x\rvert + x\sin x.

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