Utilize o método de variação dos parâmetros, resolva as EDOs:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\frac{e^{x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
y'' - 2y' + y = \frac{e^x}{x}
usando o método de variação dos parâmetros. É uma EDO linear de segunda ordem não homogênea, então vamos primeiro encontrar a solução geral da parte homogênea e depois construir uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea associada
y'' - 2y' + y = 0
montamos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0
que tem raiz dupla r=1. Logo as soluções fundamentais são
y_1(x) = e^x, \quad y_2(x) = x\,e^x.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano das soluções y_1,y_2:
W(y_1,y_2) =\begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1'& y_2' \end{vmatrix} =e^x\bigl(e^x+xe^x\bigr)-e^x\cdot xe^x =e^{2x}\,,
e como W=e^{2x}\neq0 podemos aplicar variação de parâmetros.

Passo 4

Para y''+p(x)y'+q(x)y=r(x) temos
u_1'(x)=-\frac{y_2(x)\,r(x)}{W(x)}, \quad u_2'(x)=\frac{y_1(x)\,r(x)}{W(x)},
onde aqui r(x)=e^x/x. Então
u_1'(x) =-\frac{x e^x\;\frac{e^x}{x}}{e^{2x}} =-1, \quad u_2'(x) =\frac{e^x\;\frac{e^x}{x}}{e^{2x}} =\frac1x.

Passo 5

Integramos para obter u_1,u_2 (podemos desprezar constantes de integração aqui, pois elas se fundem nos C_1,C_2 da homogênea):
u_1(x)=-\int 1\,dx=-x, \quad u_2(x)=\int \frac1x\,dx=\ln|x|.
A solução particular fica
y_p(x)=u_1\,y_1+u_2\,y_2 =(-x)e^x+(\ln|x|)\,x e^x =x e^x\bigl(\ln|x|-1\bigr).

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_1e^x+C_2\,x e^x + x e^x\bigl(\ln|x|-1\bigr).

Resposta

y(x)=e^x\Bigl(C_1 + C_2\,x + x\bigl(\ln|x|-1\bigr)\Bigr).

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