Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o método das variáveis separáveis. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis
e
de forma que cada lado da equação tenha apenas uma dessas variáveis. Isso facilita a integração e a obtenção da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. Isso nos ajuda a visualizar melhor como separar as variáveis. A equação original pode ser escrita como:
Dividindo tudo por
, temos:
Isolando
:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos rearranjar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro:
Dessa forma, conseguimos separar as variáveis, deixando uma parte só com
e outra só com
.
Passo 4
Vamos agora integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo com
:
Sabemos que
, então a integral fica:
Para resolver essa integral, usamos uma identidade trigonométrica ou técnicas de integração por partes, resultando em:
Agora, vamos integrar o lado direito com
:
Podemos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
, o que nos ajuda a simplificar a integral.
Após a substituição e simplificação, a integral resulta em:
Passo 5
Agora, juntamos as integrais que calculamos:
Onde
é a constante de integração geral.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.