Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO (2 x - 1) cos^4(y) dx + (x^2 - 2 x + 2) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o método das variáveis separáveis. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e de forma que cada lado da equação tenha apenas uma dessas variáveis. Isso facilita a integração e a obtenção da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . Isso nos ajuda a visualizar melhor como separar as variáveis. A equação original pode ser escrita como:
Dividindo tudo por , temos:
Isolando :

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis e . Para isso, vamos rearranjar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro:
Dessa forma, conseguimos separar as variáveis, deixando uma parte só com e outra só com .

Passo 4

Vamos agora integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo com :
Sabemos que , então a integral fica:
Para resolver essa integral, usamos uma identidade trigonométrica ou técnicas de integração por partes, resultando em:
Agora, vamos integrar o lado direito com :
Podemos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então , o que nos ajuda a simplificar a integral.
Após a substituição e simplificação, a integral resulta em:

Passo 5

Agora, juntamos as integrais que calculamos:
Onde é a constante de integração geral.

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária.

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