Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.
1/((x-y)^{2})*(y^{2} dx+x^{2} dy) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a equação diferencial é exata. Se for, temos que encontrar a solução geral. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas, que fazem parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Vamos precisar testar se a equação é exata e, se for, usar isso para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos multiplicar ambos os lados por para simplificar:
Agora, identificamos as funções M(x, y) e N(x, y) da equação na forma , onde:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x. Ou seja, precisamos ver se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Calculando :
Agora, calculando :

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Como , a equação não é exata.

Resposta

A equação diferencial dada não é exata.

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