Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a equação diferencial
é exata. Se for, temos que encontrar a solução geral. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas, que fazem parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Vamos precisar testar se a equação é exata e, se for, usar isso para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos multiplicar ambos os lados por
para simplificar:
Agora, identificamos as funções
e
da equação na forma
, onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, precisamos ver se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
Como
, a equação não é exata.
Resposta
A equação diferencial dada não é exata.