Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) escrita assim:
A matéria que vamos usar aqui é o método das variáveis separáveis para resolver EDOs. Esse método é útil quando conseguimos separar as variáveis
e
de forma que cada uma fique de um lado da equação. Para isso, vamos precisar manipular a equação para conseguir isolar
em termos de
ou vice-versa. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ver se conseguimos separar as variáveis. A equação dada é:
Vamos arrumar os termos para deixá-la de uma forma mais conveniente:
Agora, queremos organizar os termos de modo que todos os
fiquem de um lado e os
do outro.
Passo 3
Vamos dividir ambos os lados da equação por
para simplificar:
Simplificando as frações:
Agora, temos:
Passo 4
Vamos tentar isolar
e
. Vamos dividir ambos os lados por
:
Agora, podemos reescrever isso como:
Tentei separar as variáveis, mas ainda não está bem separado para integrar facilmente. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 5
Vamos olhar novamente para a equação original:
Podemos fatorar
nos dois termos:
Isso pode nos ajudar a identificar uma estrutura que permita separar as variáveis.
Passo 6
Vamos dividir toda a equação por
:
Agora, temos:
Parece que ainda estamos tentando isolar as variáveis. Vamos tentar uma substituição para facilitar a separação.
Passo 7
Vamos usar uma substituição para facilitar. Observamos que a equação pode ser homogênea. Vamos tentar a substituição:
Então,
e
.
Vamos substituir na equação original.
Passo 8
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 9
Vamos expandir os termos:
Simplificando:
Passo 10
Notamos que a substituição está complicando mais a equação. Vamos voltar e tentar outra abordagem mais direta para separar as variáveis.
Passo 11
Vamos retornar à equação após dividir por
:
Podemos reorganizar para isolar
:
Então:
Passo 12
Simplificando o denominador:
Então:
Ainda não está totalmente separado, mas podemos tentar outra substituição.
Passo 13
Vamos tentar a substituição
. Então,
.
Vamos ver se isso ajuda a simplificar a equação.
Passo 14
Expressando
em termos de
:
Substituindo na equação:
Rearranjando:
Passo 15
Fatorando
no lado direito:
Ainda está complicado. Vamos tentar uma abordagem diferente.
Passo 16
Vamos verificar se a equação é exata. Para que uma equação seja exata, devemos ter:
Onde
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata!
Passo 17
Como a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
apenas.
Passo 18
Agora, encontramos
. Para encontrar
, usamos:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando a
:
Portanto:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 19
Agora, temos a função
:
Como a equação é exata,
.
Resposta
A solução geral da EDO é dada por:
Onde
é a constante de integração.