Determine em quais números a seguinte função g é diferenciável e em quais não.
g(x) = {- (1 + 2 x) se x < -1, x^2 se -1 <= x <= 1, 2 x + 1 se x > 1}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais números a função é diferenciável. A função é uma função por partes, ou seja, ela muda de fórmula dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre funções por partes, continuidade e diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a definição da função :
Nossa missão é verificar onde essa função é diferenciável. Normalmente, para funções por partes, a gente precisa prestar atenção nos pontos onde a definição muda, que aqui são e .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função nesses pontos. Uma função precisa ser contínua para ser diferenciável. Se a função não for contínua em algum ponto, ela com certeza não será diferenciável ali.

Passo 4

Vamos verificar a continuidade em e .
  • Para :
Como os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função, é contínua em .
  • Para :
Aqui, os limites laterais não são iguais ( ), então não é contínua em .

Passo 5

Agora, sabendo sobre a continuidade, vamos falar sobre a diferenciabilidade.
  • Se a função não for contínua em algum ponto, ela automaticamente não é diferenciável ali. Portanto, já sabemos que não é diferenciável em .
  • Em , como a função é contínua, precisamos verificar se as derivadas laterais são iguais. Se forem, a função é diferenciável; se não, não é.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas nas partes onde a função é definida.
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Agora, vamos verificar as derivadas nas proximidades de .
  • Derivada pela esquerda ( ):
  • Derivada pela direita ( ):
Como as derivadas laterais são iguais ( ), é diferenciável em .

Resposta

A função é diferenciável em todos os números reais, exceto em .

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