Utilize a mudança de variáveis para coordenadas polares para calcular as integrais:
n) \iint_{D}\left(x^{2}+y\right) d x d y sendo D a região limitada pela elipse de equação \frac{(x-1)^{2}}{3}+\frac{(y+2)^{2}}{4}=1.
Passo 1
O enunciado pede que apliquemos mudança de variáveis para “coordenadas polares” adaptadas à elipse
\frac{(x-1)^{2}}{3}+\frac{(y+2)^{2}}{4}=1
para calcular
\iint_{D}\bigl(x^{2}+y\bigr)\,dx\,dy.
O conteúdo da matéria é mudança de variáveis em integrais duplas usando uma transformação que leva a região elíptica em um disco unitário.
Passo 2
Fazemos primeiro a translação e a escala que transformam a elipse em círculo:
u=\frac{x-1}{\sqrt{3}}, \quad v=\frac{y+2}{2}.
Então a elipse vira u^{2}+v^{2}\le1. Em seguida introduzimos coordenadas polares no (u,v):
u = r\cos\theta, \quad v = r\sin\theta,
com 0\le r\le1 e 0\le\theta\le2\pi.
Em resumo,
x = 1 + \sqrt{3}\,r\cos\theta, \quad y = -2 + 2\,r\sin\theta.
Passo 3
Calculamos o jacobiano da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y). Como (x-1)=\sqrt{3}\,u e (y+2)=2\,v, temos
dx\,dy = \bigl|\det J\bigr|\,dr\,d\theta,
onde \det J = \sqrt{3}\cdot2\cdot r = 2\sqrt{3}\,r. Logo
dx\,dy = 2\sqrt{3}\,r\,dr\,d\theta.
Passo 4
Expressamos a integranda x^{2}+y em termos de r,\theta: