Utilize a mudança de variáveis para coordenadas polares para calcular as integrais:
n) \iint_{D}\left(x^{2}+y\right) d x d y sendo D a região limitada pela elipse de equação \frac{(x-1)^{2}}{3}+\frac{(y+2)^{2}}{4}=1.

Passo 1

O enunciado pede que apliquemos mudança de variáveis para “coordenadas polares” adaptadas à elipse
\frac{(x-1)^{2}}{3}+\frac{(y+2)^{2}}{4}=1
para calcular
\iint_{D}\bigl(x^{2}+y\bigr)\,dx\,dy.
O conteúdo da matéria é mudança de variáveis em integrais duplas usando uma transformação que leva a região elíptica em um disco unitário.

Passo 2

Fazemos primeiro a translação e a escala que transformam a elipse em círculo:
u=\frac{x-1}{\sqrt{3}}, \quad v=\frac{y+2}{2}.
Então a elipse vira u^{2}+v^{2}\le1. Em seguida introduzimos coordenadas polares no (u,v):
u = r\cos\theta, \quad v = r\sin\theta,
com 0\le r\le1 e 0\le\theta\le2\pi.
Em resumo,
x = 1 + \sqrt{3}\,r\cos\theta, \quad y = -2 + 2\,r\sin\theta.

Passo 3

Calculamos o jacobiano da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y). Como (x-1)=\sqrt{3}\,u e (y+2)=2\,v, temos
dx\,dy = \bigl|\det J\bigr|\,dr\,d\theta,
onde \det J = \sqrt{3}\cdot2\cdot r = 2\sqrt{3}\,r. Logo
dx\,dy = 2\sqrt{3}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Expressamos a integranda x^{2}+y em termos de r,\theta:
x^{2}+y = \bigl(1+\sqrt{3}\,r\cos\theta\bigr)^{2} + \bigl(-2+2\,r\sin\theta\bigr).
Expandindo:
x^{2}+y = 1 + 2\sqrt{3}\,r\cos\theta +3r^{2}\cos^{2}\theta -2 +2r\sin\theta = -1 +2\sqrt{3}\,r\cos\theta +2r\sin\theta +3r^{2}\cos^{2}\theta.
Multiplicando pelo jacobiano,
(x^{2}+y)\,dx\,dy = \bigl(-1 +2\sqrt{3}\,r\cos\theta +2r\sin\theta +3r^{2}\cos^{2}\theta\bigr)\,2\sqrt{3}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Distribuímos e separamos termos:
(x^{2}+y)\,dx\,dy = \bigl(-2\sqrt{3}\,r +12\,r^{2}\cos\theta +4\sqrt{3}\,r^{2}\sin\theta +6\sqrt{3}\,r^{3}\cos^{2}\theta\bigr)\,dr\,d\theta.
Então a integral sobre \theta de \cos\theta e \sin\theta anula-se, e resta apenas os termos em r e em \cos^{2}\theta:
\iint_{D}(x^{2}+y)\,dx\,dy =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\bigl(-2\sqrt{3}\,r +6\sqrt{3}\,r^{3}\cos^{2}\theta\bigr)\,dr\,d\theta.
Como
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi,
temos
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(-2\sqrt{3}\,r)\,dr\,d\theta = -2\sqrt{3}\,(2\pi)\int_{0}^{1}r\,dr = -4\pi\sqrt{3}\,\frac{1}{2} = -2\pi\sqrt{3},
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}6\sqrt{3}\,r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta = 6\sqrt{3}\,\pi\int_{0}^{1}r^{3}\,dr = 6\sqrt{3}\,\pi\cdot\frac{1}{4} = \tfrac{3}{2}\,\pi\sqrt{3}.
Somando,
-2\pi\sqrt{3} + \tfrac{3}{2}\pi\sqrt{3} = -\tfrac{1}{2}\,\pi\sqrt{3}.

Resposta

-\frac{\pi\sqrt{3}}{2}.

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