(Ex 3, III.5, pg148) Calcule as áreas das regiões R, usando integrais duplas:
b) R é determinada pelas desigualdades: x^{2}+y^{2} \leq 9, y \leq x+3, y \leq-x. (classe)

Passo 1

O enunciado pede a área da região R definida por
x^{2}+y^{2}\le9,\quad y\le x+3,\quad y\le -x.
O conteúdo é cálculo de área por integrais duplas, mas vamos usar integração iterada em x e y, desenhando secções verticais.

Passo 2

Primeiro esboçamos o círculo de raio 3 e as retas y=x+3 e y=-x. A interseção dessas duas retas ocorre em
x+3=-x\quad\Longrightarrow\quad x=-\tfrac32,\quad y=\tfrac32.
Para cada valor de x no disco -3\le x\le3, o ponto mais baixo de R é a parte inferior do círculo, y=-\sqrt{9-x^2}, e o teto de R é a menor das duas retas:
  • quando -3\le x\le -\tfrac32, a reta mais baixa é y=x+3;
  • quando -\tfrac32\le x\le3, a reta mais baixa é y=-x.

Passo 3

Assim a área de R é
\text{Area}(R) =\int_{x=-3}^{-3/2}\Bigl[(x+3)-\bigl(-\sqrt{9-x^2}\bigr)\Bigr]\,dx +\int_{x=-3/2}^{3}\Bigl[(-x)-\bigl(-\sqrt{9-x^2}\bigr)\Bigr]\,dx.
Isto é
\int_{-3}^{-3/2}\bigl(x+3+\sqrt{9-x^2}\bigr)dx +\int_{-3/2}^{3}\bigl(-x+\sqrt{9-x^2}\bigr)dx.

Passo 4

Usamos a primitiva
\int\sqrt{9-x^2}\,dx =\tfrac12\Bigl(x\sqrt{9-x^2}+9\arcsin\!\tfrac{x}{3}\Bigr),
e calculamos separadamente os dois integrais. Após avaliação nos limites obtemos
I_1=\int_{-3}^{-3/2}(x+3+\sqrt{9-x^2})\,dx =\frac{9}{8}-\frac{9\sqrt{3}}{8}+\frac{3\pi}{2},
I_2=\int_{-3/2}^{3}(-x+\sqrt{9-x^2})\,dx =-\frac{27}{8}+\frac{9\sqrt{3}}{8}+3\pi.

Passo 5

Somando I_1+I_2 simplifica-se
\text{Area}(R) =I_1+I_2 =-\frac{18}{8}+\frac{9\pi}{2} =\frac{9}{4}(\pi-1).

Resposta

A área da região R é
\boxed{\frac{9}{4}\bigl(\pi-1\bigr)}.

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