(6) Utilize a mudança de variável u=\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right) para calcular as integrais seguintes:
\int \frac{1}{\operatorname{sen} x+\cos x} d x

Passo 1

O enunciado pede
\int \frac{1}{\operatorname{sen} x+\cos x}\,dx
e sugere usar a substituição de Weierstrass
u=\operatorname{tg}\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr).
Para isso precisamos das fórmulas
\operatorname{sen} x = \frac{2u}{1+u^{2}},\quad \cos x = \frac{1-u^{2}}{1+u^{2}},\quad dx = \frac{2\,du}{1+u^{2}}.

Passo 2

Substituindo no integrando temos
\operatorname{sen} x+\cos x = \frac{2u}{1+u^{2}} + \frac{1-u^{2}}{1+u^{2}} = \frac{-u^{2}+2u+1}{1+u^{2}},
e
dx = \frac{2\,du}{1+u^{2}}.
Logo
\int \frac{1}{\operatorname{sen} x+\cos x}\,dx = \int \frac{1+u^{2}}{-u^{2}+2u+1}\;\frac{2\,du}{1+u^{2}} = \int \frac{2}{-u^{2}+2u+1}\,du.

Passo 3

Observe que
-u^{2}+2u+1 = 2 - (u-1)^{2},
portanto
\int \frac{2}{-u^{2}+2u+1}\,du = \int \frac{2}{2 - (u-1)^{2}}\,du.

Passo 4

Para integrar
\int \frac{2}{2 - (u-1)^{2}}\,du
note que, com t = u-1, fica
\int \frac{2}{2 - t^{2}}\,dt = \int \frac{1}{1 - \bigl(\tfrac{t}{\sqrt{2}}\bigr)^{2}}\,dt = \artanh\!\Bigl(\frac{t}{\sqrt{2}}\Bigr) + C.
Voltando a u, obtemos
\artanh\!\Bigl(\frac{u-1}{\sqrt{2}}\Bigr) + C.

Passo 5

Substituindo u=\operatorname{tg}(x/2) na expressão final, a primitiva procurada é
\boxed{ \artanh\!\Bigl(\frac{\operatorname{tg}(\tfrac{x}{2})-1}{\sqrt{2}}\Bigr) + C }.

Resposta

\displaystyle \artanh\!\Bigl(\frac{\operatorname{tg}(\tfrac{x}{2})-1}{\sqrt{2}}\Bigr) + C

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