(2) Prove as seguintes identidades:
\operatorname{sen}(a) \operatorname{sen}(b)=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)] \quad e \quad \cos (a) \cos (b)=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)].
Em seguida, utilize-as para calcular as integrais:
(a) \int \operatorname{sen}(2 x) \operatorname{sen}(3 x) d x

Passo 1

O enunciado nos pede para provar as identidades trigonométricas
\displaystyle \sin(a)\sin(b)=\tfrac12\bigl[\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr]
e
\displaystyle \cos(a)\cos(b)=\tfrac12\bigl[\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr]
usando as fórmulas de soma e diferença de cosseno, e depois usar a primeira para calcular
\displaystyle \int \sin(2x)\,\sin(3x)\,dx.

Passo 2

Começamos das fórmulas de cosseno de soma e diferença:
\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b),
\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b).
Se subtrairmos a segunda da primeira, vem
\cos(a-b)-\cos(a+b) =2\,\sin(a)\sin(b),
logo
\sin(a)\sin(b) =\frac{1}{2}\bigl[\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr].

Passo 3

Para a identidade de \cos(a)\cos(b), somamos as mesmas duas fórmulas:
\cos(a-b)+\cos(a+b) =2\,\cos(a)\cos(b),
dando
\cos(a)\cos(b) =\frac{1}{2}\bigl[\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr].

Passo 4

Agora aplicamos
\displaystyle \sin(2x)\sin(3x) =\tfrac12\bigl[\cos(2x-3x)-\cos(2x+3x)\bigr].
Isso é
\sin(2x)\sin(3x) =\frac{1}{2}\bigl[\cos(-x)-\cos(5x)\bigr] =\frac{1}{2}\bigl[\cos(x)-\cos(5x)\bigr]
pois \cos é função par. Logo a integral fica
\int \sin(2x)\sin(3x)\,dx =\frac{1}{2}\int\bigl[\cos(x)-\cos(5x)\bigr]\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int\cos(x)\,dx=\sin(x), \qquad \int\cos(5x)\,dx=\frac{1}{5}\sin(5x).
Substituindo, obtemos
\int\sin(2x)\sin(3x)\,dx =\frac{1}{2}\Bigl[\sin(x)-\frac{1}{5}\sin(5x)\Bigr]+C =\frac{1}{2}\sin(x)-\frac{1}{10}\sin(5x)+C.

Resposta

\displaystyle \int\sin(2x)\sin(3x)\,dx =\frac{1}{2}\sin(x)-\frac{1}{10}\sin(5x)+C.

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