(2) Prove as seguintes identidades:
e
.
Em seguida, utilize-as para calcular as integrais:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado nos pede para provar as identidades trigonométricas
e
usando as fórmulas de soma e diferença de cosseno, e depois usar a primeira para calcular
.
e
usando as fórmulas de soma e diferença de cosseno, e depois usar a primeira para calcular
Passo 2
Começamos das fórmulas de cosseno de soma e diferença:
Se subtrairmos a segunda da primeira, vem
logo
Passo 3
Para a identidade de
, somamos as mesmas duas fórmulas:
dando
Passo 4
Agora aplicamos
.
Isso é
Isso é
pois
é função par. Logo a integral fica
Passo 5
Integramos termo a termo:
Substituindo, obtemos