Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos da função sujeita à restrição dada.
Passo 1
A questão pede pra encontrar extremos de f(x,y)=2x2+y2 sujeito à restrição 2x+4y=1, usando multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar montar o lagrangiano, derivar em relação a x, y e λ, e resolver o sistema.
Passo 2
Construímos o lagrangiano como
Aqui subtraímos λ vezes (restrição) porque queremos forçar 2x+4y=1.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 4
Da equação (1) vem x=λ/2 e da (2) vem y=2λ. Substituindo na restrição (3):
Passo 5
Logo x=λ/2=1/18 e y=2λ=2/9. Aí calculamos f(1/18,2/9):
Como f é soma de quadrados (função convexa), esse ponto é mínimo global. Não há máximo porque a reta é ilimitada.
Passo 6
Concluímos que o único extremo é um mínimo no ponto dado e não existe máximo sob essa restrição.
Resposta
Mínimo em (x,y)=(1/18, 2/9) com valor f=1/18; não há máximo.