Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos da função sujeita à restrição dada.
f(x, y)=2 x^2+y^2, 2 x+4 y=1

Passo 1

A questão pede pra encontrar extremos de f(x,y)=2x2+y2 sujeito à restrição 2x+4y=1, usando multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar montar o lagrangiano, derivar em relação a x, y e λ, e resolver o sistema.

Passo 2

Construímos o lagrangiano como
L(x,y,lambda)=2x^2+y^2-lambda,(2x+4y-1)
Aqui subtraímos λ vezes (restrição) porque queremos forçar 2x+4y=1.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partialLpartial x=4x-2lambda=0(1)
partialLpartial y=2y-4lambda=0(2)
partialLpartiallambda=-(2x+4y-1)=0(3)

Passo 4

Da equação (1) vem x=λ/2 e da (2) vem y=2λ. Substituindo na restrição (3):
2(tfraclambda2)+4(2lambda)=1implieslambda+8lambda=1implies9lambda=1implieslambda=tfrac19

Passo 5

Logo x=λ/2=1/18 e y=2λ=2/9. Aí calculamos f(1/18,2/9):
f=2l(tfrac118r)^2+l(tfrac29r)^2=2cdottfrac1324+tfrac481=tfrac1162+tfrac8162=tfrac9162=tfrac118
Como f é soma de quadrados (função convexa), esse ponto é mínimo global. Não há máximo porque a reta é ilimitada.

Passo 6

Concluímos que o único extremo é um mínimo no ponto dado e não existe máximo sob essa restrição.

Resposta

Mínimo em (x,y)=(1/18, 2/9) com valor f=1/18; não há máximo.

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