Resolva o problema isoperimétrico para triângulos, isto é, dentre todos os triângulos de mesmo perímetro p, determine aquele que possui a área máxima. Sugestão: utilize a fórmula de Heron para área A=raizs(s-x)(s-y)(s-z), onde s é o semi-perímetro p / 2 e x, y, z são os comprimentos dos lados.

Passo 1

Vamos resolver o problema isoperimétrico: entre todos os triângulos com perímetro fixo p, queremos achar o que tem área máxima. O conteúdo envolve otimização com restrição e a fórmula de Heron para área de triângulos.

Passo 2

Pela fórmula de Heron, a área de um triângulo de lados x,y,z e semiperímetro s = p/2 é dada por:
A = raizs,(s-x),(s-y),(s-z)

Passo 3

Como s é constante, maximizar A equivale a maximizar A^2 = s,(s-x),(s-y),(s-z). Para simplificar essa expressão, definimos:
a = s - x, b = s - y, c = s - z, a + b + c = 3s - (x+y+z) = 3s - p = s

Passo 4

Queremos, portanto, maximizar o produto abc sob a restrição a + b + c = s e a,b,c>=0. Pela desigualdade AM–GM (média aritmética >= média geométrica), temos que, para soma fixa, o produto é máximo quando todos os termos são iguais. Logo,
a = b = c = s3

Passo 5

Voltando às variáveis originais, s - x = a = s/3 implica x = 2s/3. Como s = p/2, obtemos
x = 2(p/2)3 = p3,
e o mesmo vale para y e z.

Resposta

O triângulo equilátero com lados iguais a p/3.

Exercícios relacionados