Resolva o problema isoperimétrico para triângulos, isto é, dentre todos os triângulos de mesmo perímetro
, determine aquele que possui a área máxima. Sugestão: utilize a fórmula de Heron para área
, onde
é o semi-perímetro
e
são os comprimentos dos lados.
Passo 1
Vamos resolver o problema isoperimétrico: entre todos os triângulos com perímetro fixo
, queremos achar o que tem área máxima. O conteúdo envolve otimização com restrição e a fórmula de Heron para área de triângulos.
Passo 2
Pela fórmula de Heron, a área de um triângulo de lados
e semiperímetro
é dada por:
Passo 3
Como
é constante, maximizar
equivale a maximizar
. Para simplificar essa expressão, definimos:
Passo 4
Queremos, portanto, maximizar o produto
sob a restrição
e
. Pela desigualdade AM–GM (média aritmética >= média geométrica), temos que, para soma fixa, o produto é máximo quando todos os termos são iguais. Logo,
Passo 5
Voltando às variáveis originais,
implica
. Como
, obtemos
e o mesmo vale para
e
.
Resposta
O triângulo equilátero com lados iguais a
.