Utilize uma parametrização para expressar a área da superficie como uma integral dupla. Em seguida, calcule a integral.
Tronco de cone A porção do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} / 3 entre os planos z=1 e z=4 / 3.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção do cone
z = \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{3}
entre os planos z=1 e z=\tfrac{4}{3}. O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície via parametrização e integração dupla, usando a fórmula
\text{Área}(S)=\iint_{D}\bigl\|\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}\bigr\|\,dA.Á

Passo 2

Para parametrizar o cone em coordenadas polares, note que \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e, pela equação do cone, z=r/3. Então escolhemos
\mathbf{r}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r/3\bigr),
com r variando de 3 (quando z=1) até 4 (quando z=4/3) e \theta de 0 a 2\pi.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\mathbf{r}_{r}=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1/3),
\mathbf{r}_{\theta}=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).

Passo 4

O produto vetorial é
\mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta} =\bigl(-\tfrac{r\cos\theta}{3},\,-\tfrac{r\sin\theta}{3},\,r\bigr),
cuja norma vale
\bigl\|\mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta}\bigr\| =\sqrt{\frac{r^{2}\cos^{2}\theta}{9}+\frac{r^{2}\sin^{2}\theta}{9}+r^{2}} =r\sqrt{1+\tfrac{1}{9}} =\frac{r\sqrt{10}}{3}.

Passo 5

Portanto, a área da superfície é
\iint_{D}\frac{r\sqrt{10}}{3}\,dr\,d\theta
com r\in[3,4] e \theta\in[0,2\pi].

Passo 6

Avaliamo-la:
\text{Área} =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{3}^{4}\frac{r\sqrt{10}}{3}\,dr\,d\theta =\frac{\sqrt{10}}{3}\cdot2\pi\int_{3}^{4}r\,dr =\frac{2\pi\sqrt{10}}{3}\cdot\frac{4^{2}-3^{2}}{2} =\frac{2\pi\sqrt{10}}{3}\cdot\frac{7}{2} =\frac{7\pi\sqrt{10}}{3}.Á

Resposta

A área da porção do cone é \displaystyle \frac{7\pi\sqrt{10}}{3}.

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