Utilize uma parametrização para expressar a área da superficie como uma integral dupla. Em seguida, calcule a integral.
Tronco de cone A porção do cone z=2 \sqrt{x^{2}+y^{2}} entre os planos z=2 e z=6.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície lateral do tronco de cone dado por z=2\sqrt{x^2+y^2} entre z=2 e z=6. Vamos usar coordenadas polares para parametrizar essa superfície e aplicar a fórmula da área
A = \iint_{D} \bigl\|\phi_r \times \phi_\theta\bigr\|\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares, temos r=\sqrt{x^2+y^2} e a equação do cone fica z=2r. Uma parametrização natural é
\varphi(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;2r\bigr),
com 1\le r\le 3 (pois em z=2 tem-se r=1 e em z=6 tem-se r=3) e 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\phi_r=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;2)
\phi_\theta=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0)
O produto vetorial é
\phi_r \times \phi_\theta = (-2r\cos\theta,\;-2r\sin\theta,\;r),
cuja magnitude é
\|\phi_r \times \phi_\theta\| = \sqrt{(-2r\cos\theta)^2+(-2r\sin\theta)^2+r^2} = \sqrt{4r^2+r^2} = r\sqrt{5}.

Passo 4

Substituindo na integral de área,
A = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{3} r\sqrt{5}\,dr\,d\theta = \sqrt{5}\,\Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr)\,\Bigl(\int_{1}^{3}r\,dr\Bigr) = \sqrt{5}\,(2\pi)\Bigl[\tfrac12r^2\Bigr]_{1}^{3} = 8\pi\sqrt{5}.

Resposta

8\pi\sqrt{5}

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