Utilize uma parametrização para expressar a área da superficie como uma integral dupla. Em seguida, calcule a integral.
Esfera serrada A porção inferior cortada da esfera x^{2}+y^{2}+ z^{2}=2 pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da esfera
\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=2
que fica “abaixo” do cone
\;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,.
O conteúdo é cálculo de área de superfície via parametrização esférica.

Passo 2

Usamos coordenadas esféricas com raio R=\sqrt{2}\): \[\begin{cases} x=R\sin\varphi\cos\theta,\\\ y=R\sin\varphi\sin\theta,\\\ z=R\cos\varphi, \end{cases}
onde 0\le\theta\le2\pi\] e \(0\le\varphi\le\pi.

Passo 3

A condição z\le\sqrt{x^{2}+y^{2}} torna-se
R\cos\varphi \,\le\,R\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi\le\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi\ge1 \quad\Longrightarrow\quad \varphi\ge\frac\pi4.
Logo a região de \varphi é \frac\pi4\le\varphi\le\pi.

Passo 4

O elemento de área na esfera é
dS \;=\;R^{2}\sin\varphi\;d\varphi\,d\theta \;=\;2\,\sin\varphi\;d\varphi\,d\theta.
Assim a área A vale
A \;=\;\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=\pi/4}^{\pi} 2\,\sin\varphi\;d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calculemos a integral em \varphi:
\int_{\pi/4}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi =\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{\pi/4}^{\pi} =-\cos\pi-(-\cos\tfrac\pi4) =1+\frac{\sqrt2}{2}.
Multiplicando por 2 e integrando em \theta
A =2\cdot\Bigl(1+\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr) \int_{0}^{2\pi}d\theta =2\Bigl(1+\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)\cdot2\pi =4\pi\Bigl(1+\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr).

Resposta

A =4\pi\Bigl(1+\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr) =4\pi+2\sqrt2\,\pi.

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