Utilize uma parametrização para expressar a área da superficie como uma integral dupla. Em seguida, calcule a integral.
Esfera serrada A porção inferior cortada da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Passo 1
O que a questão pede é a área da porção da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2
que fica “por baixo” do cone
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,.
O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas para parametrizar essa parte da superfície de raio a=\sqrt{2} e depois calcular a integral dupla da forma de área.
Passo 2
Em coordenadas esféricas tomamos
\begin{cases} x = a\,\sin\varphi\cos\theta,\\\ y = a\,\sin\varphi\sin\theta,\\\ z = a\,\cos\varphi, \end{cases}
com a=\sqrt{2}, ângulo polar \varphi medido a partir do eixo z e \theta\in[0,2\pi]. A superfície da esfera é parametrizada por (\theta,\varphi)\mapsto\mathbf r(\theta,\varphi).
Passo 3
Para descobrir o intervalo de \varphi imposto pelo cone usamos a equação