Utilize uma parametrização para expressar a área da superficie como uma integral dupla. Em seguida, calcule a integral.
Esfera serrada A porção inferior cortada da esfera x^{2}+y^{2}+ z^{2}=2 pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O que a questão pede é a área da porção da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2
que fica “por baixo” do cone
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,.
O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas para parametrizar essa parte da superfície de raio a=\sqrt{2} e depois calcular a integral dupla da forma de área.

Passo 2

Em coordenadas esféricas tomamos
\begin{cases} x = a\,\sin\varphi\cos\theta,\\\ y = a\,\sin\varphi\sin\theta,\\\ z = a\,\cos\varphi, \end{cases}
com a=\sqrt{2}, ângulo polar \varphi medido a partir do eixo z e \theta\in[0,2\pi]. A superfície da esfera é parametrizada por (\theta,\varphi)\mapsto\mathbf r(\theta,\varphi).

Passo 3

Para descobrir o intervalo de \varphi imposto pelo cone usamos a equação
z = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \;\Longrightarrow\; a\cos\varphi = a\sin\varphi \;\Longrightarrow\; \varphi = \frac{\pi}{4}\,.
O “por baixo” do cone corresponde a \varphi\in[\tfrac{\pi}{4},\pi].

Passo 4

O elemento de área na esfera vale
\bigl\lvert \mathbf r_\varphi\times\mathbf r_\theta\bigr\rvert \,d\varphi\,d\theta = a^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =2\,\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta
pois a^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2.

Passo 5

Agora montamos a integral dupla em \theta\in[0,2\pi] e \varphi\in[\frac{\pi}{4},\pi]:
\text{Área} =\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/4}^{\pi}2\,\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =2\cdot2\pi\int_{\pi/4}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi.Á
No cálculo interno,
\int_{\pi/4}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi =\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{\pi/4}^{\pi} =-\cos\pi -\bigl(-\cos\tfrac{\pi}{4}\bigr) =1+\frac{\sqrt{2}}{2}.
Logo
\text{Área} =4\pi\Bigl(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) =4\pi +2\sqrt{2}\,\pi.Á

Resposta

\boxed{\text{Área} = 4\pi + 2\sqrt{2}\,\pi = \pi\,(4 + 2\sqrt{2}).}Á

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