Utilize a Propriedade 11 para estimar o valor da integral. integral duplaD e^x^2+y^2 d A, D é o disco com centro na origem e raio 12

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui: . O domínio é um disco centrado na origem com raio . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre estimativas de integrais usando propriedades de funções contínuas. Para isso, vamos precisar achar os valores mínimo e máximo da função dentro desse disco e calcular a área do disco.

Passo 2

A Propriedade 11 que vamos usar nos ajuda a estimar o valor de uma integral dupla quando a função é contínua no domínio de integração. Essa propriedade diz que:
m cdot Área(D) <= integral duplaD f(x,y) , dA <= M cdot Área(D) ÁÁ
Aqui, é o menor valor que a função assume dentro de e é o maior valor. Basicamente, a integral está entre o menor possível multiplicado pela área e o maior possível multiplicado pela área.

Passo 3

Vamos encontrar e^0 = 1 (quando x^2 + y^2 = 0) e e^0,25 (quando x^2 + y^2 = 0,25) para a função dentro do disco .
Dentro de , sabemos que .
Então, varia entre:
e
Portanto, e .

Passo 4

Agora, vamos calcular a área do disco Área(D) = pi cdot r^2 . A área de um disco é dada por:
Área(D) = pi cdot (12)^2 = pi cdot 14 = pi4 Á
Onde , então:
Á

Passo 5

Com os valores de 1 cdot pi4 <= integral duplaD e^x^2+y^2 , dA <= e^0,25 cdot pi4 , pi4 <= integral duplaD e^x^2+y^2 , dA <= pi cdot e^0,254 e Á, vamos aplicar a Propriedade 11 para estimar a integral:
Ou seja:

Resposta

A integral pi4 <= integral duplaD e^x^2+y^2 , dA <= pi cdot e^0,254 está entre e . Ou seja,

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