Considere a função
f(x, y)=cc sen(x^2+y^2)(x^2+y^2), & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
b) A função f é contínua em (0,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos resolver a questão de verificar se a função f(x, y)=cc sin(x^2+y^2)x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0) é contínua no ponto . A função está definida por:
Para determinar a continuidade no ponto , precisamos analisar o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função lim(x,y) to (a,b) f(x, y) = f(a, b) é contínua no ponto lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = f(0, 0) se:
No nosso caso, queremos verificar se:
Sabemos que , então precisamos calcular o limite à esquerda.

Passo 3

Vamos calcular o limite:
lim(x,y) to (0,0) sin(x^2+y^2)x^2+y^2
Para simplificar, podemos fazer uma substituição. Vamos definir . Então, quando se aproxima de , se aproxima de .

Passo 4

Com a substituição limu to 0 sin(u)u , o limite se transforma em:
limu to 0 sin(u)u = 1
Esse é um limite conhecido na matemática. Sabemos que:

Passo 5

Portanto, o limite da função quando se aproxima de é . Mas, lembrando, .

Resposta

Como o limite da função quando é e , concluímos que a função não é contínua no ponto .

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