Utilize as propriedades de somatório e calcule:
sumi=1^20 sumj=1^10 sumk=1^15(i-j)^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma tripla:
sumi=1^20 sumj=1^10 sumk=1^15(i-j)^3
Isso significa que precisamos somar o termo para todos os valores de de 1 a 20, de 1 a 10 e de 1 a 15. Para resolver isso, vamos usar propriedades de somatórios e algumas fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Observando a expressão sumi=1^20 sumj=1^10 sumk=1^15(i-j)^3 = sumi=1^20 sumj=1^10 15(i-j)^3 = 15 sumi=1^20 sumj=1^10 (i-j)^3 , percebemos que ela não depende da variável . Isso significa que, para cada combinação de e , a soma sobre é simplesmente repetido 15 vezes (já que varia de 1 a 15).
Portanto, podemos simplificar a soma tripla da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, vamos focar na soma dupla:
sumi=1^20 sumj=1^10 (i-j)^3
Para simplificar essa expressão, vamos expandir (i-j)^3 = i^3 - 3i^2j + 3ij^2 - j^3 usando a fórmula do binômio:
sumi=1^20 sumj=1^10 (i^3 - 3i^2j + 3ij^2 - j^3) = sumi=1^20 sumj=1^10 i^3 - 3sumi=1^20 sumj=1^10 i^2j + 3sumi=1^20 sumj=1^10 ij^2 - sumi=1^20 sumj=1^10 j^3
Substituindo na soma dupla:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas somas individualmente:
  1. Soma de sumi=1^20 i^3 = (20 times 212)^2 = 44100 :
A soma dos cubos de 1 a 20 é dada por:
sumi=1^20 sumj=1^10 i^3 = 44100 times 10 = 441000
Como estamos somando para cada valor de sumi=1^20 i^2 = 20 times 21 times 416 = 2870 de 1 a 10, multiplicamos por 10:
sumj=1^10 j = 55
  1. Soma de sumi=1^20 sumj=1^10 i^2j = 2870 times 55 = 157850 :
Primeiro, somamos sumi=1^20 i = 20 times 212 = 210 de 1 a 20:
sumj=1^10 j^2 = 385
E a soma de sumi=1^20 sumj=1^10 ij^2 = 210 times 385 = 80850 de 1 a 10 é:
sumj=1^10 j^3 = 3025
Então:
sumi=1^20 sumj=1^10 j^3 = 3025 times 20 = 60500
  1. Soma de :
Primeiro, somamos de 1 a 20:
E a soma de de 1 a 10 é:
Então:
  1. Soma de :
A soma dos cubos de 1 a 10 é:
Como somamos para cada de 1 a 20:

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na expressão original:
15 ( 441000 - 3 times 157850 + 3 times 80850 - 60500 )
Calculando passo a passo:
  1. Multiplicações:
    • 15 ( 441000 - 473550 + 242550 - 60500 )
    • 15 times 149500 = 2,242,500
  2. Substituindo:
  3. Resolvendo as operações dentro dos parênteses:
  4. Por fim:

Resposta

A soma tripla é igual a .

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