Utilize as propriedades de somatório e calcule:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma tripla:
Isso significa que precisamos somar o termo
para todos os valores de
de 1 a 20,
de 1 a 10 e
de 1 a 15. Para resolver isso, vamos usar propriedades de somatórios e algumas fórmulas matemáticas básicas.
Passo 2
Observando a expressão
, percebemos que ela não depende da variável
. Isso significa que, para cada combinação de
e
, a soma sobre
é simplesmente
repetido 15 vezes (já que
varia de 1 a 15).
Portanto, podemos simplificar a soma tripla da seguinte maneira:
Passo 3
Agora, vamos focar na soma dupla:
Para simplificar essa expressão, vamos expandir
usando a fórmula do binômio:
Substituindo na soma dupla:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas somas individualmente:
- Soma de
:
A soma dos cubos de 1 a 20 é dada por:
Como estamos somando para cada valor de
de 1 a 10, multiplicamos por 10:
- Soma de
:
Primeiro, somamos
de 1 a 20:
E a soma de
de 1 a 10 é:
Então:
- Soma de
:
Primeiro, somamos
de 1 a 20:
E a soma de
de 1 a 10 é:
Então:
- Soma de
:
A soma dos cubos de 1 a 10 é:
Como somamos para cada
de 1 a 20:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na expressão original:
Calculando passo a passo:
-
Multiplicações:
-
-
Substituindo:
-
Resolvendo as operações dentro dos parênteses:
-
-
Por fim:
Resposta
A soma tripla é igual a
.