Encontre, se existir, o valor de cada uma das seguintes integrais:
integral1^5 1raiz5-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral! A gente precisa calcular . Isso faz parte do conteúdo de cálculo de integrais, e vamos usar uma técnica chamada substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos fazer uma substituição para deixar a integral mais fácil de resolver. Vamos definir:
u = 5 - x

Passo 3

Agora, vamos encontrar o diferencial de du = -dx Rightarrow dx = -du em relação a :
Também precisamos mudar os limites de integração de acordo com essa substituição:
  • Quando ,
  • Quando ,

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral1^5 1raiz5 - x , dx = integral4^0 1raizu , (-du) = integral0^4 1raizu , du
Aqui, a gente trocou os limites de integração de 4 a 0 para 0 a 4 e retirou o sinal negativo.

Passo 5

Agora, vamos integrar integral 1raizu , du = integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C . Sabemos que:

Passo 6

Aplicando os limites de integração, temos:
integral0^4 1raizu , du = 2raizu |0^4 = 2raiz4 - 2raiz0 = 2 times 2 - 0 = 4

Resposta

O valor da integral é 4.

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