Utilize a Regra da Cadeia e calcule a derivada f^{\prime}(x) para cada função dada:
f(x)=\ln \left(\sqrt{4 x^{3}-3 x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(\sqrt{4x^{3}-3x^{2}}\bigr)
usando a Regra da Cadeia. Vamos precisar das propriedades de logaritmo, da derivada de \ln(u) e da derivada de uma potência.

Passo 2

Usamos a propriedade \ln(u^{\alpha})=\alpha\,\ln(u) e escrevemos
f(x)=\ln\bigl((4x^{3}-3x^{2})^{\tfrac12}\bigr) =\tfrac12\,\ln\bigl(4x^{3}-3x^{2}\bigr).

Passo 3

Para derivar f(x)=\tfrac12\,\ln\bigl(4x^{3}-3x^{2}\bigr), seja u(x)=4x^{3}-3x^{2}. Então
f'(x) =\tfrac12\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}, \quad u'(x)=12x^{2}-6x.
Logo,
f'(x) =\tfrac12\cdot\frac{12x^{2}-6x}{4x^{3}-3x^{2}}.

Passo 4

Fatoramos e simplificamos:
\frac{12x^{2}-6x}{2\,(4x^{3}-3x^{2})} =\frac{6x(2x-1)}{2\,x^{2}(4x-3)} =\frac{3(2x-1)}{x(4x-3)}.

Resposta

f'(x)=\frac{3(2x-1)}{x(4x-3)}.

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