Utilize a Regra da Cadeia e calcule a derivada f^{\prime}(x) para cada função dada:
f(x)=x \operatorname{Cotg}^{-1}(x)+\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x\,\Cotg^{-1}(x)+\ln\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr).
O conteúdo envolvido é a regra do produto, a derivada de \Cotg^{-1}(x) e a regra da cadeia aplicada ao logaritmo.

Passo 2

Derivando o primeiro termo por produto, temos
\frac{d}{dx}\bigl[x\,\Cotg^{-1}(x)\bigr] =\underbrace{1}_{d(x)/dx}\cdot\Cotg^{-1}(x) +x\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\Cotg^{-1}(x)\bigr].
Como
\frac{d}{dx}\bigl[\Cotg^{-1}(x)\bigr] =-\frac{1}{1+x^{2}},
segue
\frac{d}{dx}\bigl[x\,\Cotg^{-1}(x)\bigr] =\Cotg^{-1}(x)-\frac{x}{1+x^{2}}.

Passo 3

Para o segundo termo, note que
\ln\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr) =\tfrac12\ln\bigl(1+x^{2}\bigr).
Aplicando regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac12\ln(1+x^{2})\Bigr] =\tfrac12\cdot\frac{2x}{1+x^{2}} =\frac{x}{1+x^{2}}.

Passo 4

Somando as duas derivadas:
f'(x) =\Bigl(\Cotg^{-1}(x)-\frac{x}{1+x^{2}}\Bigr) +\frac{x}{1+x^{2}} =\Cotg^{-1}(x).

Resposta

f'(x)=\Cotg^{-1}(x).

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