Use a Regra da Cadeia e calcule a derivada f^{\prime}(x) para as seguintes funções:
f(x)=\ln \left[\operatorname{tg}\left(\sqrt[3]{5 x^{4}-2 x^{3}}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl[\tan(\sqrt[3]{5x^4-2x^3})\bigr].
Trata-se de uma função composta que envolve logaritmo, tangente e raiz cúbica. Vamos aplicar a regra da cadeia em etapas.

Passo 2

Defina
u=\tan(v), \quad v=(5x^4-2x^3)^{1/3}.
A parte externa é g(u)=\ln(u), cujo derivada é
g'(u)=\frac{1}{u}.
Logo, por cadeia,
f'(x)=\frac{u'}{u} =\frac{1}{\tan(v)}\;u'.

Passo 3

Agora derive u=\tan(v). Sabemos que
\frac{d}{dv}\bigl[\tan(v)\bigr]=\operatorname{sec}^2(v),
então
u'=\operatorname{sec}^2(v)\,v'
e substituindo em f'(x) resulta
f'(x) =\frac{\operatorname{sec}^2(v)}{\tan(v)}\,v'.

Passo 4

Falta derivar
v=(5x^4-2x^3)^{1/3}.
Pela regra da potência e da cadeia,
v'=\frac{1}{3}(5x^4-2x^3)^{-2/3}\cdot\frac{d}{dx}(5x^4-2x^3) =\frac{1}{3}(5x^4-2x^3)^{-2/3}(20x^3-6x^2).

Passo 5

Substituindo v e v' em f'(x) e fatorando 20x^3-6x^2=2x^2(10x-3), obtemos
f'(x) =\frac{\operatorname{sec}^2\bigl((5x^4-2x^3)^{1/3}\bigr)}{\tan\bigl((5x^4-2x^3)^{1/3}\bigr)} \;\frac{2x^2(10x-3)}{3\,(5x^4-2x^3)^{2/3}}.

Resposta

f'(x) =\frac{2x^2(10x-3)}{3\,(5x^4-2x^3)^{2/3}} \;\frac{\operatorname{sec}^2\bigl((5x^4-2x^3)^{1/3}\bigr)}{\tan\bigl((5x^4-2x^3)^{1/3}\bigr)}.

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